Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos

Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos

Neste post resolveremos alguns Volumes de revolução entorno do eixo y. Aplicaremos a fórmula apresentado no post anterior em alguns exercícios.  Se você quiser acompanhar a resolução de exercícios entorno do eixo x clique aqui.

Primeiramente, reapresentamos a definição da fórmula que iremos utilizar.

Definição

Seja uma função f(x) continua não negativa em [a,b], então o volume de revolução V formado ao girarmos a função f(x) definida entre [a,b] entorno do eixo y e limitado por y=0 é determinado por 

.

Determine o volume do objeto gerado ao girarmos as funções f(x) e g(x) entorno do eixo y entre os pontos de intersecção.

e

Para uma melhor compreensão do problema, geramos o gráfico das duas funções.

Mas primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção ao igualarmos as duas funções. 

Assim para termos a última igualdade x deve ser  ou , logo os pontos são   e .

Agora, aplicamos a definição, mas antes observe que a função f(x) é maior do que g(x) no intervalo de integração. Assim, temos

.

Como temos o mesmo intervalo de integração, podemos reescrever como uma única integral. Além disto, aproveitamos para associarmos os termos em comum

e retirar o do integrando, uma vez que, ele não depende de x, assim temos

.

No integrando temos uma multiplicação de polinômios, que resultará também em um polinômio. Assim, nosso problema se resume em integrar um polinômio. Portanto, temos

.

No integrando esta última equação teremos 

.

Observe que no exercício 2 do post passado já tinhamos resolvido este exercício. Porém, lá utilizamos a fórmula para os casos de revolução entorno do eixo x. Ambos podem ser utilizadas, você pode escolher a que melhor lhe convém.