Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos
Volumes de revolução entorno do eixo y – exercícios resolvidos
Neste post resolveremos alguns Volumes de revolução entorno do eixo y. Aplicaremos a fórmula apresentado no post anterior em alguns exercícios. Se você quiser acompanhar a resolução de exercícios entorno do eixo x clique aqui.
Primeiramente, reapresentamos a definição da fórmula que iremos utilizar.
Definição
Seja uma função f(x) continua não negativa em [a,b], então o volume de revolução V formado ao girarmos a função f(x) definida entre [a,b] entorno do eixo y e limitado por y=0 é determinado por
Determine o volume do objeto gerado ao girarmos as funções f(x) e g(x) entorno do eixo y entre os pontos de intersecção.
Para uma melhor compreensão do problema, geramos o gráfico das duas funções.
Mas primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção ao igualarmos as duas funções.
Assim para termos a última igualdade x deve ser
Agora, aplicamos a definição, mas antes observe que a função f(x) é maior do que g(x) no intervalo de integração. Assim, temos
Como temos o mesmo intervalo de integração, podemos reescrever como uma única integral. Além disto, aproveitamos para associarmos os termos em comum
e retirar o
No integrando temos uma multiplicação de polinômios, que resultará também em um polinômio. Assim, nosso problema se resume em integrar um polinômio. Portanto, temos
No integrando esta última equação teremos
Observe que no exercício 2 do post passado já tinhamos resolvido este exercício. Porém, lá utilizamos a fórmula para os casos de revolução entorno do eixo x. Ambos podem ser utilizadas, você pode escolher a que melhor lhe convém.