Teoria dos conjuntos: exercício resolvido

Teoria dos conjuntos: exercício resolvido

Neste post resolveremos um exercício sobre a Teoria dos conjuntos. A Teoria dos conjuntos é outro conteúdo bastante cobrado em concursos públicos. Este conteúdo estuda a relação entre conjuntos, que são coleções de elementos.

(INSS 2016 Técnico) Julgue o item a seguir se verdadeiro ou falso.

( ) Se A, B e C forem conjuntos quaisquer tais que A,B⊂ C, então (C\A) ∩ (A ∪ B)=C ∩ B. 

Resolução:

Primeiramente, note que o exercício apenas diz que A e B estão contidos em C, A,B⊂ C. Porém, não nos diz qual é a relação entre A e B. Portanto, podemos ter quatro situações: A e B podem ter alguns elementos em comum, A e B podem ser totalmente distintos, A pode conter B ou B pode conter A. Assim, se para algum destes casos a sentença for falsa, o item estará incorreto.

Iniciamos analisando o caso em que A e B tenham alguns elementos em comum, como podemos ver na ilustração.

Em seguida, construiremos o conjunto (C\A) ∩ (A ∪ B) parte por parte, para finalmente compararmos com o conjunto C ∩ B . Primeiramente, temos (C\A) que significa os elementos que pertencem a C e não pertencem a A, representado por: (C-A).

Já (A ∪ B) significa os elementos que pertencem a A mais os que pertencem a B, porém sem repetir elementos iguais.

Assim, temos que (C\A) ∩ (A ∪ B) significa os elementos comuns ( que interseccionam) do conjunto (C\A) e do conjunto (A ∪ B), ou seja, os elementos que pertencem aos dois conjuntos. Logo, temos:

A interseção C ∩ B significa os elementos que pertencem aos dois conjuntos C e B, ou seja, o próprio conjunto B, visto que B pertence a C.

Portanto, observando os dois conjuntos (C\A) ∩ (A ∪ B)  e C ∩ B percebemos que são diferentes (C\A) ∩ (A ∪ B) ≠ C ∩ B. Portanto, o item está Errado.

Uma última dica, lembre que tínhamos quatro possíveis relações entre A e B. Como uma delas já verificamos ser falsa, a sentença é falsa. Entretanto, se tivéssemos escolhido a relação A e B podem ser totalmente distintos, a sentença (C\A) ∩ (A ∪ B) = C ∩ B é verdadeira. Assim, deveríamos analisar as outros relações, onde constataríamos a falsidade do item.

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