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Resolvendo a integral exp(tg(x))sec²x usando Integração por Substituição

Resolvendo a integral exp(tg(x))sec²x usando Integração por Substituição

Neste post resolveremos a integral exp(tg(x))sec²x utilizando a técnica de Integração por Substituição. Lembrando que recentemente publicamos uma ideia inicial da Integração por Substituição, como sendo a antiderivada da Regra da cadeia. 

Dica: se você ao observar uma integral perceber que o integrando pode ser separado em dois termos e que a derivada de um deles é semelhante ao outro, possivelmente a metodologia a ser utilizada  é a Integração por Substituição. 

Resolvendo a integral

\displaystyle \int e^{tg(x)}sec^2(x)dx

À primeira vista, esta integral até pode assustar, mas ao definir certo qual termo utilizaremos como u, ela se torna fácil. Lembre da dica que dissemos a cima sobre o integrando ser separado em duas partes. Sabemos que muitos alunos ainda não tem gravados na memoria as derivadas das funções tangente e secante. Uma vez que as utilizamos com pouca frequência. 

Entretanto, observe que a derivada da função tangente é semelhante ao outro termo do integrando.

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[tg(x)\bigg]=sec^2(x)

Assim, quando substituímos \displaystyle u=tg(x) e derivando ambos os lados 

\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigg[tg(x)\bigg]=sec^2(x)

\displaystyle \Rightarrow \; \; du=sec^2(x)dx.

Substituindo na integral original obtém-se

\displaystyle \int e^{tg(x)}sec^2(x)dx=\int e^{u}du

assim chega-se a uma integral imediata. Ao aplicar a integral teremos

\displaystyle \int e^{u}du=e^{u}+C.

Por fim, substituindo a expressão referente a u chega-se a solução da integral

\displaystyle e^{u}+C=e^{tg(x)}+C.

Portanto,

\displaystyle \int e^{tg(x)}sec^2(x)dx=e^{tg(x)}+C.

Publicado em 27/04/2019, em Integrais. Marcado com as tags integração por substituição.