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Regra do produto de 3 termos – derivada do produto de 3 funções

Regra do produto de 3 termos – derivada do produto de 3 funções

Neste post apresenta-se uma ampliação da Derivada do produto, mais especificamente a Regra do produto de 3 termos. Da mesma forma que faremos esta ampliação para o produto de 3 funções, você poderá generalizar para quantas funções tenha necessidade.

Propriedade da Regra do produto de 3 termos

Sejam as funções \displaystyle f(x), \displaystyle g(x) e \displaystyle h(x) então

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[f(x)g(x)h(x) \bigg]=\frac{d}{dx}\big[f(x) \big]g(x)h(x)+

\displaystyle f(x)\frac{d}{dx}\big[g(x) \big]h(x)+f(x)g(x)\frac{d}{dx}\big[h(x) \big] .

Este post não tem a intenção de demonstrar formalmente esta propriedade, pois já demonstramos em um post anterior: a derivada do produto de duas funções e esta, segue analogamente.  

Entretanto, note que a Regra do produto de 3 termos utiliza na sua formação a regra do produto de 2 termos, da seguinte forma:

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[f(x)g(x)h(x) \bigg]=\frac{d}{dx}\big[f(x) \big]g(x)h(x)+f(x)\frac{d}{dx}\big[g(x)h(x) \big] ,

onde devemos aplicar novamente a regra do produto de 2 termos no último termo (para simplificar a escrita tomamos apenas o termo de interesse) 

\displaystyle f(x)\frac{d}{dx}\bigg[g(x)h(x) \bigg]=f(x)\Bigg(\frac{d}{dx}\big[g(x) \big]h(x)+g(x)\frac{d}{dx}\big[h(x) \big]\Bigg) .

Assim, substituindo na expressão anterior e manipulando-a, chegaremos a regra da derivada do produto de 3 funções.

Aplicando a propriedade em um exemplo

Encontre a derivada da função dada:

\displaystyle s(x)=2x^{2}\ln x \cos(x) .

Perceba que temos uma função s que pode ser expressa no produto de 3 termos. Como queremos aplicar a propriedade apresentada neste post, devemos identificar cada termo da seguinte forma: 

\displaystyle f(x)=2x^{2}, \displaystyle g(x)=\ln x e \displaystyle h(x)=\cos(x) .

Como necessitamos a derivada de cada uma destas funções, aplica-se a derivada em cada um separadamente: 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x) \big]=\frac{d}{dx}\big[2x^{2} \big]=4x, 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[g(x) \big]=\frac{d}{dx}\big[\ln x \big]=\frac{1}{x},

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[h(x) \big]=\frac{d}{dx}\big[\cos (x) \big] =-sen(x).

Assim, ao substituir na Propriedade da Regra do produto de 3 termos obtém-se:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[s(x)\big]=\left (4x \right )\ln x \cos(x)+ 2x^{2}\left ( \frac{1}{x} \right ) \cos(x)+2x^{2}\ln x\big(-sen(x) \big) 

\displaystyle =4x\ln x \cos(x)+ 2x \cos(x)-2x^{2}\ln x\,sen(x) .

Caso desejar acompanhe a resolução de outro exemplo em vídeo clicando aqui. 

Publicado em 11/08/2017, em Derivadas.