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A regra da cadeia passo a passo

A regra da cadeia passo a passo

No estudo das derivadas a regra da cadeia é uma ferramenta muito importante, pois ela possibilita derivar funções mais complexas (composição de funções simples). A ideia principal desta regra é abrir essas funções complicadas na composição de funções simples em que sabemos suas derivadas. Assim, iniciamos apresentando o Teorema da regra da cadeia e, em seguida, resolvem-se alguns exemplos utilizando a Regra da cadeia passo a passo. 

Teorema da regra da cadeia

Seja \displaystyle g uma função diferenciável no ponto \displaystyle x e \displaystyle f diferenciável no ponto \displaystyle g(x), então a composição \displaystyle f\circ g é diferenciável no ponto \displaystyle x e 

\displaystyle h'(x)=(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) .

Em outras bibliografias, você pode encontrar também a regra da cadeia escrita da seguinte forma 

\displaystyle \frac{d\, f(g(x))}{dx}=\frac{d\, f(u)}{du}\cdot \frac{d\, u}{dx} ,

onde \displaystyle u=g(x), ou ainda, de forma mais simplificada 

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d\, y}{du}\cdot \frac{d\, u}{dx} .

Exemplos – regra da cadeia passo a passo

1) Determine a derivada da função \displaystyle y=cos(x^{3}) .

O primeiro passo é identificar a composição da função: 

  • \displaystyle f(u)=cos(u) ;
  • \displaystyle g(x)=x^{3} .

O segundo passo é derivar cada uma das funções simples separadamente:

  • \displaystyle f'(u)=-sen(u) ;
  • \displaystyle g'(x)=3x^{2} .

O terceiro passo é substituirmos na fórmula da regra da cadeia: 

\displaystyle y'(x)=f'(u)\cdot g'(x)=-sen(u)\cdot 3x^{2} .

Por fim, substituir a função auxiliar \displaystyle u=g(x) e simplificar a solução 

\displaystyle y'(x)=-sen(x^{3})\cdot 3x^{2} 

\displaystyle y'(x)=-3x^{2}sen(x^{3}) .

2) Determine a derivada da função \displaystyle y=ln(\sqrt[3]{e^{x}+1}) .

Observe que essa função é formada pela composição de 3 funções simples. Assim, devemos aplicar a regra da cadeia duas vezes. 

O primeiro passo é identificar a composição das funções simples: 

  • \displaystyle f(u)=ln(u) ;
  • \displaystyle g(v)=\sqrt[3]{v} ;
  • \displaystyle t(x)=e^{x}+1 .

onde \displaystyle u=g(v) e \displaystyle v=t(x).

O segundo passo é derivar cada uma das funções simples separadamente:

  • \displaystyle f'(u)=\frac{1}{u} ;
  • \displaystyle g'(v)=\frac{1}{3}v^{-\frac{2}{3}} ;
  • \displaystyle t'(x)=e^{x} .

O terceiro passo é substituirmos na fórmula da regra da cadeia: 

\displaystyle y'(x)=f'(u)\cdot g'(v)\cdot t'(x)=\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{3}v^{-\frac{2}{3}}\cdot e^{x} .

Por fim, substituir as funções auxiliar \displaystyle u=g(v), \displaystyle v=t(x) e simplificar a solução 

\displaystyle y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{v}}\cdot \frac{1}{3}(e^{x}+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot e^{x}     

\displaystyle y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{e^{x}+1}}\cdot \frac{1}{3}(e^{x}+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot e^{x} 

\displaystyle y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{e^{x}+1}}\cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(e^{x}+1)^{2}}}\cdot e^{x} 

\displaystyle y'(x)=\frac{e^{x}}{3(e^{x}+1)} .

Acompanhe a resolução de outros exercícios que utilizam a Regra da Cadeia clicando aqui.

Publicado em 30/09/2017, em aplicações, Derivadas.