Uma das aplicações das derivadas é a análise do crescimento e decrescimento de funções, ou seja, o sinal da derivada nos fornece onde a função é crescente (+) e decrescente (-). Este recuso é usado principalmente em funções em que temos dificuldade de construir o gráfico. Assim, a partir da derivada podemos construir o esboço das funções com mais detalhes.
Em muitos cálculos de limites nos deparamos com um dos tipos de indeterminação. Assim temos que aplicar alguma técnica para superar esta indeterminação, como por exemplo a fatoração. Entretanto há casos em que não é possível aplicar estas técnicas. Nesses casos devemos recorrer a Regra de L’Hospital, que foi desenvolvida por Bernoulli, entretanto publicada por L’Hospital. Bernoulli percebeu que na vizinhança de um determinado ponto, a razão entre duas funções pode ser comparada com a razão entre suas derivadas, desde que sejam atendidas algumas hipóteses.
Uma das aplicações de derivadas é a Aproximação linear local, que consiste em aproximar uma função qualquer por uma função linear. Entretanto, haverá apenas uma boa aproximação local, ou seja, apenas na vizinhança de onde está sendo feita a aproximação.
O ser humano está sempre na busca de descrever o comportamento dos fenômenos físicos que o cercam. Em geral, começam descrevendo problemas mais simplificados, ou seja, desprezando algumas variáveis menos relevantes. Em seguida, gradativamente são acrescidas novas variáveis até chegar o mais próximo possível da realidade. Neste contexto temos as Taxas relacionadas, que são as relações estabelecidas entre as várias Taxas de variação de um determinado fenômeno físico.
No estudo das derivadas a regra da cadeia é uma ferramenta muito importante, pois ela possibilita derivar funções mais complexas (composição de funções simples). A ideia principal desta regra é abrir essas funções complicadas na composição de funções simples em que sabemos suas derivadas. Assim, iniciamos apresentando o Teorema da regra da cadeia e, em seguida, resolvem-se alguns exemplos utilizando a Regra da cadeia passo a passo.
