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Limites exercícios resolvidos – limites indeterminados

Limites exercícios resolvidos – limites indeterminados

Este post dedica-se a limites exercícios resolvidos, na qual utilizam-se algumas técnicas para superar as formas de indeterminação. Para esse desenvolvimento será necessário fazer uso das propriedades dos limites e limites fundamentais, caso você ainda não os tenha visto este é o momento oportuno.

Exercícios resolvidos de limites

Determine os seguintes limites:

1) \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^{3}-x^{2}+7}{2x^{4}-3^{2}+5}

Sempre que temos um limite para resolver, devemos iniciar aplicando o limite, pois nem sempre chegamos a uma indeterminação

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^{3}-x^{2}+7}{2x^{4}-3x^{2}+5}=\frac{+\infty}{+\infty} . 

Como obtemos uma forma de indeterminação, temos que utilizar alguma técnica para superá-la. Neste caso opta-se em colocar o termo de maior grau em evidência 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^{4}\left ( \frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}+\frac{7}{x^{4}}\right )}{x^{4}\left (2-\frac{3}{x^{2}}+\frac{5}{x^{4}} \right )}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}+\frac{7}{x^{4}}}{2-\frac{3}{x^{2}}+\frac{5}{x^{4}}} .

e, em seguida, aplicar o limite onde encontra-se:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}+\frac{7}{x^{4}}}{2-\frac{3}{x^{2}}+\frac{5}{x^{4}}}=\frac{0-0+0}{2-0+0}=0 .

2) \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{x^{3}-27}{x-3}

Ao aplicar o limite chegamos em outra forma de indeterminação 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{x^{3}-27}{x-3}=\frac{0}{0} .

Neste execício utiliza-se a fatoração do polinômio no produto de suas raízes, visto que o termo do numerador pode ser escrito em um produto 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{x^{3}-27}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{\left (x^{2}+3x+9 \right )\left(x-3 \right )}{x-3} .

Para concluir devemos simplificar os termos em comum e aplicar o limite 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{\left (x^{2}+3x+9 \right )\left(x-3 \right )}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3} \left (x^{2}+3x+9 \right )=27 .

3) \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}

Ao aplicar o limite obtemos novamente uma indeterminação 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}=\frac{0}{0} .

Neste exercício aplica-se a técnica da racionalização que consiste em multiplicar o numerado e denominador pelo termo inverso daquele que contém a raiz 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{ (\sqrt{x+4}-2) \cdot (\sqrt{x+4}+2)}{2x \cdot (\sqrt{x+4}+2)} ,

onde temos o produto da diferença, assim obtém-se:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x+4-4}{2x\cdot (\sqrt{x+4}+2)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x}{2x\cdot (\sqrt{x+4}+2)} .

Simplificando e aplicando o limite obtém-se:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x}{2x\cdot(\sqrt{x+4}+2)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{1}{2\cdot (\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{8} . 

4) \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{2} - sen(x)}{x}

Aplicando o limite temos o seguinte tipo de indeterminação 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{2} - sen(x)}{x}=\frac{0}{0} .

Neste exercício sugerimos duas forma de solução

a) Usando as propriedades de limite e o limite fundamental:

Iniciamos aplicando a propriedade da soma dos limites 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{2} - sen(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{2} }{x}-\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x} ,

observe que o segundo limite é um dos tipos de limite fundamental, assim temos 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} x-\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x}=0-1=-1 . 

b) Usando a Regra de L’Hospital:

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0 podemos utilizar a Regra de L’Hospital, porém esta regra nos exige conhecimentos de derivadas.

A regra de L’Hospital nos diz que 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .

Assim, aplicando as derivadas no numerador e no denominador obteremos 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{x^{2} - sen(x)}{x}=\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{2x - cos(x)}{1} = \frac{0-1}{1}= -1 .

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Publicado em 17/06/2017, em Limites.