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Limite: Definição Formal

Limite: Definição Formal

Neste post, vamos começar com Limite: Definição Formal.

Cabe ressaltar que, em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Seja I um intervalo qualquer, a \in I e f(x) uma função definida no intervalo I, (exceto eventualmente em a ). Diz-se que o limite de f(x) quando x tende a a é L.   Escreve-se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L, se para todo \epsilon>0 existe um \delta>0, tal que

|f(x)-L|<\epsilon  sempre que  0<|x-a|<\delta ,

onde \epsilon e \delta são constantes tão pequenas quanto se queira.

Em outras palavras, pode-se dizer que uma função possui limite em a se os pontos em x presentes em um pequeno intervalo entorno de a produzem valores de f(x) em um pequeno intervalo entorno de L .

Gráfico

Limite: Definição Formal

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que “tende” a ser um determinado número. Ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número. Entretanto, vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também. 

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor. Porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número “tende” a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. 

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De sequência nos seus estudos com o tópico Propriedades dos Limites. Além do mais, prossiga seus estudos assistindo esse vídeo. 

Publicado em 06/09/2016, em Limites.