Derivadas: exercícios resolvidos

Derivadas: exercícios resolvidos

Derivadas usando a definição

1) \displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-1}

2) \displaystyle f(x)=2xe^{x}+3x

Derivadas

1) \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-3x+1

2) \displaystyle y=cos(x^{3})

3) \displaystyle y=ln(\sqrt[3]{e^{x}+1})

4) \displaystyle s(x)=2x^{2}\ln x \cos(x)

5) \displaystyle f(x)=x^{4}-5x^{2}

6) \displaystyle t(x)=\sqrt{x^{2}-1}

7) \displaystyle h(x)=sen^{2}\left (e^{x+1}\right )

Diferenciação implícita

1) \displaystyle xy+2y-x=3

2) \displaystyle sen(xy^{2})-x^{2}y=3x+1

Máximos e mínimos das funções

1) f(x)=x^{2}-2x-3

2) \displaystyle N(t)=5000(25+te^{-t/20})

3) Uma área de terra retangular está limitada por um arame em três de seus lados e por um rio reto no quarto lado. Ache as dimensões da terra com área máxima que pode ser cercada com 1.000 metros de arame.

4) Uma empresa de embalagem recebeu um pedido de caixas de papelão, onde o solicitante exigiu apenas que as caixas tivesse 15 litros de capacidade e uma altura de 20 centímetros. Quais são as dimensões das caixas para obter o menor custo com o papelão?

5) Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 Kg. Até agora ele gastou R$380.000,00 para criar os bois e continuara gastando R$ 2,00 por dia para manter cada boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 Kg por dia. Seu preço de venda, hoje é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?

Taxas relacionadas

1) O trigo está saindo através de uma calha de escoamento a uma taxa de 10 pés3/min e cai em uma pilha cônica, cujo raio da base é sempre a metade da altura. Com que rapidez estará aumentando a circunferência da base quando a altura da pilha for de 8 pés?

2) Uma piscina foi construída com as seguintes dimensões: 5m de largura, 8m de comprimento e 2m de profundidade no lado mais fundo e 1m no lado mais raso, conforme figura abaixo. A piscina está sendo enchida com uma mangueira que tem uma vasão de 3000 litros por hora, então qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo é de 80cm?

Aproximação linear local

1) Obtenha uma aproximação linear da função \displaystyle f(x)=x\ sen\left (\frac{x}{2} \right ) no ponto \displaystyle x=\pi .

2) Obtenha uma aproximação linear da função \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-1} no ponto \displaystyle x=3 .

Regra de L’Hospital

1) \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{2x}

2) \displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+5x+4}{2x^{2}-x-3}

3) \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{e^{3x}}