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Exercícios de logaritmos resolvidos passo a passo

Exercícios de logaritmos resolvidos passo a passo

No post de hoje damos continuidade com os exercícios de logaritmos resolvidos passo a passo. Caso queira acompanhar a resolução dos exercícios do post anterior, clique aqui. Recentemente, também publicamos um contexto histórico e aplicações do cotidiano de logaritmos.

Exercícios resolvidos de logaritmos passo a passo

1) (PUCRS – 2011) Escrever \displaystyle b^{\log_{b}a}=b^{-2}, equivale a escrever:

a) \displaystyle a=1/b^{2}
b) \displaystyle b=a^{2}
c) \displaystyle a=b^{2}
d) \displaystyle b^{2}=-a
e) \displaystyle b=1 /a^{2}

Esse exercício podemos resolver de duas forma:

1ª) Utilizando propriedades das exponenciais

Uma das propriedades das exponenciais diz que: exponenciais com bases iguais tem expoentes iguais, portanto, devemos igualar os expoentes. Assim obtemos

\displaystyle \log_{b}a=-2

que ao aplicar a operação do logaritmo temos

\displaystyle a=b^{-2}.

Logo, pela aplicação das propriedades de potenciação temos

\displaystyle a=\frac{1}{b^{2}}.

Dessa forma, a resposta é a letra A. 

2ª) Utilizando propriedades dos logaritmos

Uma das propriedades das logaritmos diz que:

Se  um logaritmo estiver na potência de uma exponencial e a base da exponencial e do logaritmo forem iguais, a exponencial completa é igual ao logaritmando.

Ou seja, 

\displaystyle b^{\log_{b}a}=b^{-2}\Rightarrow a=b^{-2}

Logo, pela aplicação novamente as propriedades de potenciação temos

\displaystyle a=\frac{1}{b^{2}}.

Portanto, a resposta é a letra A. 

2) (FUVEST – 2016)Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão: 

\displaystyle S=\frac{1}{2\cdot \log_{2}2016}+\frac{1}{5\cdot \log_{3}2016}+\frac{1}{10\cdot \log_{7}2016}

a) \displaystyle 1/2
b) \displaystyle 1/3
c) \displaystyle 1/5
d) \displaystyle 1/7
e) \displaystyle 1/10

Primeiramente, observe que todos os logaritmandos são iguais, isto nos indicam uma possibilidade de solução. Recorde a propriedade dos logaritmos que chamamos de Propriedade do Inverso multiplicativo. Para utilizar esta propriedade precisamos fazer um pequeno ajuste na nossa expressão

\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\log_{2}2016}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\log_{3}2016}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{\log_{7}2016}.

Em seguida, aplicamos a propriedade do Inverso multiplicativo dos logaritmos, onde obtemos

\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot\log_{2016}2+\frac{1}{5}\cdot\log_{2016}3+\frac{1}{10}\cdot\log_{2016}7.

Aplicando o mínimo múltiplo comum temos

\displaystyle S=\frac{5\cdot\log_{2016}2+2\cdot\log_{2016}3+1\cdot\log_{2016}7}{10}.

Logo depois, aplicamos a Propriedade da Potência dos logaritmos em todos eles temos

\displaystyle S=\frac{\log_{2016}2^{5}+\log_{2016}3^{2}+\log_{2016}7^{1}}{10}.

Observe que agora temos uma soma de logaritmos de mesma base, logo, podemos aplicar a Propriedade do Produto, onde obtemos

\displaystyle S=\frac{\log_{2016}\left(2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1} \right)}{10}=\frac{\log_{2016}2016}{10}=\frac{1}{10}.

Portanto, a resposta é a letra E.