Limites Infinitos e Limites no Infinito

Limites Infinitos e Limites no Infinito 

 

Neste post apresenta-se a temática dos Limites Infinitos e Limites no Infinito, que consiste nos casos em que o limite em um determinado ponto resulta em \pm\infty e nos casos em que queremos saber o limite quando x\rightarrow \pm\infty .

Antes de começarmos a explicar estes dois conteúdos apresentam-se as operações que envolvem  \pm\infty e que possuem valores reais, ao contrário das operações que geram indeterminação.

Considerando  n\in\mathbb{N^{*}} e com c sendo uma constante tem-se:

(+\infty)+(+\infty)=+\infty (-\infty)+(-\infty)=-\infty
(+\infty)^{n}=+\infty (+\infty)(-\infty)=-\infty
se n par então (-\infty)^{n}=+\infty se  n ímpar então (-\infty)^{n}=-\infty
+\infty+c=+\infty -\infty+c=-\infty 
se c>1  então c^{+\infty}=+\infty  se c>1  então c^{-\infty}=0
se 0<c<1  então c^{+\infty}=0 se 0<c<1  então c^{-\infty}=+\infty
 \displaystyle\frac{c}{\pm\infty}=0  

Dito isto, prosseguimos as explicações trazendo dois cálculos de limites a partir da mesma função: 

Exemplo 1: \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{1}{x^{2}}  

Este primeiro exemplo trabalha com a ideia de dividir uma constante qualquer por um número muito grande (positivo ou negativo).

Assim, quanto maior for este número, mais próximo de 0 estará o resultado desta divisão. Por isto, ao aplicar o limite que tende ao infinito (positivo ou negativo) obtém-se:

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{1}{x^{2}}=0  .

Outros exemplos onde aplica-se a mesma ideia são: 

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{8}{\sqrt{x-6}}=0                 \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{x^{3}+12}=0 .

Exemplo 2: \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}

O segundo exemplo é oposto ao primeiro, pois o denominador está tendendo a zero, ou seja, um número muito pequeno.

Obs: Deve-se tomar cuidado quando trabalha-se com limites em que o denominador tende a 0, pois pode ocorrer que os valores muito próximos ao ponto desejado (pela direita e pela esquerda) possuam sinais contrários.

No nosso exemplo não há este problema, pois a função possui expoente par tornando os valores sempre positivos. Assim, quando dividimos uma constante positiva por um número que tende a 0, resulta em um número que tende à +\infty : 

\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty . 

Outros exemplos onde aplica-se a mesma ideia são: 

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(x-2)^{4}}=+\infty                 \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{-7}{(5-x)^{2}}= -\infty .

Veja também a explicação mais detalhada em vídeo clicando aqui.