Limites Fundamentais

Limites Fundamentais

Neste post apresentam-se os Limites Fundamentais e suas demostrações, visto que eles aparecem com frequência na resolução dos exercícios.

1º Limite Fundamental 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}=1 .

Para demostrar este limite utiliza-se a figura abaixo, na qual contém um setor circular de raio 1 e dois triângulos com um dos seus ângulos internos medindo \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} (em radianos). 

Facilmente percebe-se que:

\overline{AC}\leq B\hat{O}C\leq \overline{BD}

Abstraindo:

1) Considerando o triângulo menor temos: 

\displaystyle sen(x)=\frac{\overline{AC}}{\overline{OC}}=\frac{\overline{AC}}{1}

então:

\overline{AC}=sen(x) ;

2) Como temos um ângulo de x radianos, arco circular de raio 1 e sabendo que uma volta completa possui 2\pi radianos com comprimento 2\pi r, então ao fazer uma regra de três obtemos 

B\hat{O}C=x ;

3) Considerando o triângulo maior temos:

\displaystyle tg(x)=\frac{\overline{BD}}{\overline{OB}}=\frac{BD}{1} .

Então:

\overline{BD}=tg(x) .

Substituindo tem-se: 

sen(x)\leq x\leq tg(x) .

Dividindo todos os termos por sen(x) obtém-se: 

\displaystyle 1 \leq \frac{x}{sen(x)}\leq \frac{1}{cos(x)} . 

Invertendo todas as frações fica-se com:

\displaystyle 1 \geq \frac{sen(x)}{x}\geq cos(x) 

e aplicando o limite em todos os termos quando x\rightarrow 0 

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0}1\geq \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}\geq \lim\limits_{x\rightarrow 0}cos(x) .

Assim, tem-se:

\displaystyle 1\geq \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}\geq 1

e pela Propriedade dos Limites nº 11 chega-se a 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}=1 .

Caso queira, você poderá acompanha uma outra demostração deste limite fundamental e um exemplo utilizando ele clicando aqui.

2º Limite Fundamental 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e 

Seja a expansão binominal dada por:

\displaystyle \left(a+b\right)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\left(\frac{n(n-1)}{2!}\right)a^{n-2}b^{2}+\displaystyle +\left(\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\right)a^{n-3}b^{3}+\cdots+nab^{n-1}+b^{n} .

Então, tem-se:

\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+1+\frac{n(n-1)}{n^{2}}\frac{1}{2!}+
\displaystyle+\frac{n(n-1)(n-2)}{n^{3}}\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{n!}{n^{n}}\frac{1}{n!} .

Quando aplica-se o limite n\rightarrow \pm \infty tem-se:

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}=e . 

Logo, chega-se ao limite que queríamos mostrar 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e .

Obs: Deste mesmo limite fundamental apenas fazendo uma troca de variável chega-se a: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e . 

Caso queira, você poderá acompanha uma outra demostração deste limite fundamental clicando aqui.

3º Limite Fundamental 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a

Inicia-se esta demonstração fazendo uma troca de variáveis t=a^{x}-1\therefore a^{x}=t+1 e quando x\rightarrow 0 também t\rightarrow 0 .

Deve-se também encontrar uma expressão em t que seja igual a x para substituir quando faz-se a troca de variáveis. Assim, aplicando o logaritmo neperiano tem-se: 

\displaystyle a^{x}=t+1\Rightarrow \ln a^{x}=\ln(t+1)\Rightarrow ;

\displaystyle x\ln a=\ln(t+1)\Rightarrow x=\frac{\ln(t+1)}{\ln a} .

Logo,  escreve-se:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\frac{\ln(t+1)}{\ln a}} . 

Aplicando as Propriedade dos Limites obtém-se:

\displaystyle \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\frac{\ln(t+1)}{\ln a}}=\ln a\cdot \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\ln(t+1)}\Rightarrow \ln a\cdot \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\ln(t+1)}{t}} .

Utilizando as propriedades dos logaritmos tem-se:

\displaystyle \ln a\cdot \lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} \Rightarrow \ln a\cdot \frac{\lim\limits_{t\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{t\rightarrow 0} \ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} .

Segundo a Propriedade dos Limites nº 9, pode-se inverter a ordem do limite com a do logaritmo. Assim, fica-se com:

\displaystyle \ln a\cdot \frac{\lim\limits_{t\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{t\rightarrow 0} \ln(t+1)^{\frac{1}{t}}}=\ln a\cdot \frac{1}{\ln \lim\limits_{t\rightarrow 0}(t+1)^{\frac{1}{t}}} .

Aplicando o 2º Limite Fundamental como vimos acima tem-se:

\displaystyle \ln a\cdot \frac{1}{\ln e}=\ln a\cdot \frac{1}{1}=\ln a .

Portanto, 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a .

Dê continuidade nos teus estudos acompanhando a resolução de alguns exercícios em que utiliza este Limites Fundamentais, clique aqui.