Continuidade de uma função

O estudo da Continuidade de uma função está fortemente vinculado com o estudo de limites, pois quando quer-se saber se uma função é continua deve-se analisar também a existência do limite.  

Grosseiramente, pode-se afirmar que uma função é continua quando conseguimos desenhar seu gráfico completo sem tirar o lápis do papel, ou seja, de maneira interrupta.

Ou ainda, quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio.

 Definição formal:

Uma função é continua em se as seguintes condições forem satisfeitas:

a)  está definida;

b)  existir;

c)  .

Caso falhar qualquer uma destas condições, a função é dita descontínua em       = .

Exemplos:

1) Determine se é continua em  , onde 

Note que a função está definida . Analisando o limite tem-se: 

.

Abrindo o numerador como o produto da diferença chega-se a:

.

O último passo é conferir .

Nota-se que: 

.

Logo, é descontinua em , conforme vemos no gráfico a seguir.

2) Determine se é continua em  , onde

A função está definida em  , pois . Calculando o limite, como são funções diferentes vamos usar os limites laterais:

1) Pela direita:  .

2) Pela esquerda:  .

Como os limites laterais são iguais então o limite existe e é igual aos limites laterais, ou seja:

.

Por fim, deve-se analisar se a função em   é igual ao limite neste mesmo ponto, , na qual nota-se que: 

.

Logo, é continua em , como observa-se no gráfico a seguir.

Caso desejar, assista em vídeo estas explicações clicando aqui, ou também veja outros exemplo clicando aqui.