Propriedades das Integrais

Propriedades das Integrais / Teoremas das Integrais

 

Neste página apresentaremos as principais Propriedades das Integrais, em algumas bibliografias podem ser apresentadas como Teoremas. Estas propriedades/teoremas facilitam a resolução dos exercícios, pois muitas vezes simplificam as integrais. As primeiras três propriedades valem tanto para Integrais Definidas como para Indefinidas.

1ª Propriedade: Seja \displaystyle f(x) integrável e \displaystyle c uma constante. Esta constante pode ser inserida ou extraída do integrando, ou seja, 

\displaystyle c\int f(x)dx=\int c\: f(x)dx.

Para integrais definidas, se \displaystyle f(x) integrável no intervalo \displaystyle [a,b] temos

\displaystyle c\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{b} c\: f(x)dx.

2ª Propriedade: Sejam \displaystyle f(x) e \displaystyle g(x) integráveis. A integral da soma é igual a soma das integrais, ou seja, 

\displaystyle \int f(x)+g(x)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.

Para integrais definidas, se \displaystyle f(x) e \displaystyle g(x) integráveis no intervalo \displaystyle [a,b] temos

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)+g(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)dx.

3ª Propriedade: Sejam \displaystyle f(x) e \displaystyle g(x) integráveis. A integral da diferença é igual a diferença das integrais, ou seja, 

\displaystyle \int f(x)-g(x)dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx.

Para integrais definidas, se \displaystyle f(x) e \displaystyle g(x) integráveis no intervalo \displaystyle [a,b] temos

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)-g(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx-\int_{a}^{b} g(x)dx.

Obs: as Propriedades 2 e 3 podem ser estendidas para mais do que duas funções, mas sempre respeitando o sinal que as antecedem, ou seja, 

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)-g(x)+v(x)+\cdots -h(x)dx=\\ \int_{a}^{b} f(x)dx-\int_{a}^{b} g(x)dx+\int_{a}^{b} v(x)dx+\cdots-\int_{a}^{b} h(x)dx.

4ª Propriedade: Seja \displaystyle f(x) uma função e \displaystyle a um ponto do domínio de \displaystyle f(x), então

\displaystyle \int_{a}^{a} f(x)dx=0.

5ª Propriedade: Seja \displaystyle f(x) integrável no intervalo \displaystyle [a,b] então

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx.

6ª Propriedade: Seja \displaystyle f(x) integrável em uma intervalo fechado que contenha os pontos \displaystyle a,b,c então

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx.

Obs: os pontos não precisam estar ordenados na forma \displaystyle a<c<b. Eles podem estar em qualquer ordem, como por exemplo, \displaystyle c<a<b.

7ª Propriedade: Seja \displaystyle f(x) integrável no intervalo \displaystyle [a,b] e \displaystyle f(x)\geq 0 para todo \displaystyle x\in[a,b] então

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx\geq 0.

8ª Propriedade:  Sejam \displaystyle f(x) e \displaystyle g(x) integráveis no intervalo \displaystyle [a,b] e \displaystyle f(x)\geq g(x) para todo \displaystyle x\in[a,b] então

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx\geq \int_{a}^{b} g(x)dx.