Integração por Substituição

Integração por Substituição: a antiderivada da Regra da cadeia

No post anterior apresentamos a integral como a busca da família das antiderivadas de uma função. Neste sentido apresentaremos hoje o Método da Integração por Substituição que pode ser apresentado como a antidiferenciação da Regra da Cadeia.

Como motivação, observemos a seguinte integral e perceba que nesta não podemos aplicar as fórmulas das integrais imediadas 

\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx. 

Assim precisamos aplicar alguma metodologia que transforme a integral dada por outra em que conhecemos sua integral imediata. Uma maneira de integral é utilizar o Método da Integração por Substituição, que como o próprio nome diz, devemos aplicar uma substituição.

Entretanto, antes de aplicar o método, vamos mostrar porque a Integração por Substituição é a presentada como a antidiferenciação da Regra da Cadeia. Lembre-se que a Regra da Cadeia é dada por 

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[f\big(g(x)\big)\bigg]=f'\big(g(x)\big)g'(x), 

aplicando a integral em ambos os lados temos 

\displaystyle \int \frac{d}{dx}\bigg[f\big(g(x)\big)\bigg]dx=\int f'\big(g(x)\big)g'(x)dx 

Tomando \displaystyle u=g(x), derivando temos \displaystyle \frac{du}{dx}=g'(x) e multiplicando ambos os lados por  dx temos  du=g'(x)dx. Assim substituindo na expressão anterior temos 

\displaystyle \int \frac{d}{dx}\bigg[f\big(g(x)\big)\bigg]dx=\int f'\big(g(x)\big)g'(x)dx= 

\displaystyle \int f'(u)du=f(u)+C=f\big(g(x)\big)+C.

Deste modo obtemos a família da função composta original, antes de ser aplicada a Regra da Cadeia.

Agora voltamos a integral dada na motivação deste post e aplicaremos a Integração por Substituição 

\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx. 

Substituindo \displaystyle u=3-x^{2} e derivando  \displaystyle \frac{du}{dx}=-2x\: \: \Rightarrow \: \: du=-2x\,dx temos agora uma integral na variável u

\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx=\int -2\sqrt{3-x^{2}}(-2x)dx

substituindo teremos

 \displaystyle \int -2\sqrt{3-x^{2}}(-2x)dx=\int -2\sqrt{u}du=-2\int \sqrt{u}du. 

Em seguida, aplicando a integral imediata da potência  

\displaystyle -2\int \sqrt{u}du=-2\int u^{\frac{1}{2}}du=-2\bigg(\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg)+C= 

\displaystyle -\frac{4u^{\frac{3}{2}}}{3}+C=-\frac{4\sqrt{u^{3}}}{3}+C.

Por fim, substituindo \displaystyle u=3-x^{2} obteremos o valor da integral indefinida

\displaystyle-\frac{4\sqrt{u^{3}}}{3}+C=-\frac{4\sqrt{(3-x^{2})^{3}}}{3}+C.

Logo, 

\displaystyle \int 4x\sqrt{3-x^{2}}dx=-\frac{4\sqrt{(3-x^{2})^{3}}}{3}+C.

Caso queira fazer uma “prova” para verificar o resultado encontrado, basta derivar e comparar com o integrando. Continue seus estudos acompanhando outros exemplos resolvidos clicando aqui.