Comprimento de uma função no plano

Comprimento de uma função no plano –
comprimento de arco

O cálculo do Comprimento de uma função no plano é como medirmos um barbante que não está esticado, mas todo ondulado. Assim, conforme a complexidade da curva, mais difícil pode se tornar o cálculo. A fim de resolver este problema de forma geral utiliza-se as integrais. A ideia é a mesma das outras aplicações das integrais, que é o fatiamento em pequenos intervalos.

Definindo o Problema

Seja uma função f(x) definida entre [a,b] e queremos calcular seu comprimento. Determine uma fórmula geral para qualquer função arbitrária que seja continua no intervalo indicado. 

Comprimento de uma função no plano

Deduzindo a fórmula Comprimento de uma função no plano

Seja f(x) uma função contínua em [a,b] e com sua derivada contínua em ]a,b[. Devemos dividir o domínio em n intervalos: \{a=x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}=b\}. Em seguida, traçar uma reta entre os pontos de cada intervalo, ou seja,

Obtendo assim os pontos P_{i}=\big(x_{i},f(x_{i})\big), onde i=0,1,\cdots ,n. Observe que o comprimento de cada seguimento é dado pelo Teorema de Pitágoras

S_{i}=\sqrt{\big(\Delta x_{i}\big)^{2}+\big(\Delta y_{i}\big)^{2}}

onde \Delta y_{i}=f(x_{i})-f(x_{i-1}).

Em seguida, somamos todos os intervalos 

S\approx \sum_{i=1}^{n}S_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\big(\Delta x_{i}\big)^{2}+\big(f(x_{i})-f(x_{i-1})\big)^{2}}.

Pelo Teorema do Valor Médio sabemos que existe um x^{*}_{i}\in[x_{i-1},x_{i}] tal que 

\displaystyle \frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}=f'(x^{*}_{i})\Rightarrow f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x^{*}_{i})\Delta x_{i}.

Substituindo teremos 

\displaystyle S\approx \sum_{i=1}^{n}\sqrt{\big(\Delta x_{i}\big)^{2}+\big(f'(x^{*}_{i})\Delta x_{i}\big)^{2}}=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\big(f'(x^{*}_{i})\big)^{2}}\Delta x_{i}.

Tomando o limite de \Delta x_{i}\rightarrow 0 temos o comprimento da função

\displaystyle S=\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+\big(f'(x^{*}_{i})\big)^{2}}\Delta x_{i}=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}dx.

De forma análoga podemos construir a dedução para funções f(y).