Área de superfícies de revolução

Cálculo da Área de superfícies de revolução – “cascas” de objetos

A Área de superfícies de revolução são aquelas geradas ao girar uma curva em torno de um eixo. Por exemplo, se temos uma curva f(x) de \displaystyle a\leq x\leq b e girarmos a curva em torno do eixo x teremos a “casca” de um objeto, ou seja, a superfície de revolução.

Definição de área de superfícies de revolução

Seja f(x) uma curva suave e não negativa definida em \displaystyle a\leq x\leq b. Assim, ao girar esta curva em torno de um eixo x obteremos uma superfície de revolução. Conforme figura a seguir: 

Área de superfícies de revolução

Calculo da Área de superfícies de revolução

Em resumo: a ideia geral para a dedução da fórmula da área da superfície de revolução é fatiar em secções em troncos de cone, e em seguida, fazer a espessura tender a zero.

Inicialmente, devemos dividir em a área em troncos de cones em \displaystyle a,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n-1},b, ao traçarmos retas entre dois pontos.

Da geometria espacial sabemos que a área lateral dos troncos de cones é

\displaystyle A_{l}=\pi (r_{1}+r_{2})\sqrt{h^{2}+(r_{1}+r_{2})^{^{2}}}

onde \displaystyle r_{1},\;r_{2} são os raios e \displaystyle h a altura do tronco de cone.

Em seguida, devemos somando os n intervalos, onde teremos uma aproximação da Área de superfícies de revolução

\displaystyle S\approx \sum_{n=1}^{N}\pi \Big(f(x_{n-1})+f(x_{n})\Big)\sqrt{(\Delta x)^{2}+\Big(f(x_{n})-f(x_{n-1})\Big)^{2}}.

Além disso, pelo Teorema do Valor Médio

\displaystyle \frac{f(x_{n})-f(x_{n-1})}{\Delta x}={f}'(x_{k})

para \displaystyle x_{n}<x_{k}<x_{n-1} e pelo Teorema do Valor Intermediário

\displaystyle \frac{f(x_{n})+f(x_{n-1})}{2}=f(x_{t})

para \displaystyle x_{n}<x_{t}<x_{n-1}, temos

\displaystyle S\approx \sum_{n=1}^{N}2\pi f(x_{t})\sqrt{1+\Big({f}'(x_{k})\Big)^{2}}\Delta x.

Por fim, ao tomarmos o limite de \displaystyle \Delta x tendendo a zero teremos a construção da integral

\displaystyle S=\lim_{\Delta x\mapsto 0} \sum_{n=1}^{N}2\pi f(x_{t})\sqrt{1+\Big({f}'(x_{k})\Big)^{2}}\Delta x= \int_{a}^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+\Big({f}'(x)\Big)^{2}}dx. 

De forma análoga, podemos construir a fórmula para o caso de girarmos entorno do eixo y.

Veja um exemplo resolvido clincando aqui.