Diferenciabilidade de uma função

Diferenciabilidade de uma função

A Derivabilidade ou Diferenciabilidade de uma função é a analise feita para saber se uma função derivada está definida em todos os pontos do seu domínio.

Definição: Uma função é derivável ou diferenciável no ponto x_{0}, se existir o limite: 

\displaystyle f'(x_{0})=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} .

Se  f(x) for derivável em todos os pontos de um intervalo aberto (a,b), então f(x) é derivável em (a,b) .

Caso seja derivável em todos os pontos do intervalo (-\infty,+\infty), então f(x) é derivável em toda parte.

Há algumas situações em que uma função mesmo sendo continua em x_{0}, ainda assim não é derivável em x_{0} . Essas situações são chamadas de:

  • pontos de bico;
  • pontos de tangência vertical.

Diferenciabilidade de uma função: inderivável

Nos pontos de bico os limites laterais da definição das derivadas são distintos e nos pontos de tangência vertical as inclinações da reta secante pela direita e pela esquerda são -\infty  ou +\infty ou vice-versa.  

Obs: Mas se uma função é diferenciável em x_{0} , então ela é continua em x_{0} .

Exemplo: Determine se a função é diferenciável  

Aplicando os limites laterais percebemos facilmente que a função é continua, mas isto não é suficiente, devemos aplicar o limites laterias da definição formal.

  • Na esquerda x<1 :

\displaystyle f'(x_{0})=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{(x_{0}+h)^{2}-(x_{0}+h)+2-\left((x_{0})^{2}-x_{0}+2 \right)}{h}=

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{(x_{0})^{2}+2x_{0}h+h^{2}-x_{0}-h+2-(x_{0})^{2}+x_{0}-2}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{2x_{0}h+h^{2}-h}{h}=

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}2x_{0}+h-1=2x_{0}-1 .

Assim, tem-se que \displaystyle \forall x_{0}<1\Rightarrow f(x) é diferenciável. 

  • Na direita x>1 : 

\displaystyle f'(x_{0})=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{2\sqrt{x_{0}+h}-2\sqrt{x_{0}}}{h}= 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}2\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}2\frac{(\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}= 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}2\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}2\frac{h}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}= 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}2\frac{1}{(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}=2\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{x_{0}}} .

Assim, tem-se que \displaystyle \forall x_{0}>1\Rightarrow f(x) é diferenciável. 

  • No ponto x=1 :

No ponto utiliza-se o mesmo cálculo feito em ambos os lados, assim tem-se:

\displaystyle f'(x_{0})=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\frac{1}{\sqrt{x_{0}}}=1  

e 

\displaystyle f'(x_{0})=\lim\limits_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=2x_{0}-1=1 .

Portanto, percebe-se que ambos os lados possuem mesmo limite.

Conclusão, f(x) é diferenciável para todo valor de x \in \mathbb{R} .

Acompanhe também a explicação em vídeo clicando aqui.