Diferenciabilidade de uma função

A Derivabilidade ou Diferenciabilidade de uma função é a analise feita para saber se uma função derivada está definida em todos os pontos do seu domínio.

Definição: Uma função é derivável ou diferenciável no ponto , se existir o limite: 

.

Se  for derivável em todos os pontos de um intervalo aberto , então é derivável em .

Caso seja derivável em todos os pontos do intervalo , então é derivável em toda parte.

Há algumas situações em que uma função mesmo sendo continua em , ainda assim não é derivável em . Essas situações são chamadas de:

• pontos de bico;
• pontos de tangência vertical.

Nos pontos de bico os limites laterais da definição das derivadas são distintos e nos pontos de tangência vertical as inclinações da reta secante pela direita e pela esquerda são  ou ou vice-versa.  

Obs: Mas se uma função é diferenciável em  , então ela é continua em  .

Exemplo: Determine se a função é diferenciável  

Aplicando os limites laterais percebemos facilmente que a função é continua, mas isto não é suficiente, devemos aplicar o limites laterias da definição formal.

• Na esquerda :

.

Assim, tem-se que  é diferenciável. 

• Na direita  : 

.

Assim, tem-se que  é diferenciável. 

• No ponto  :

No ponto utiliza-se o mesmo cálculo feito em ambos os lados, assim tem-se:

e 

.

Portanto, percebe-se que ambos os lados possuem mesmo limite.

Conclusão,  é diferenciável para todo valor de  .

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