Análise da concavidade de uma função -

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Análise da concavidade de uma função

Análise da concavidade de uma função

Neste post apresenta-se como realizar a Análise da concavidade de uma função, ou seja, determinar em que parte do domínio a função possui a concavidade voltada para cima e/ou para baixo.

Para isto a função deve ser duas vezes derivável em um intervalo aberto (a,b) e deve-se verificar as seguintes situações:

1) Se $f{''}(x)>0$ em (a,b), então a concavidade está voltada para cima;

2) Se $f{''}(x)<0$ em (a,b), então a concavidade está voltada para baixo;

3) Se $f{''}(x)=0$ em (a,b), então este é um ponto de inflexão.

Tenha atenção, pois nem sempre $f{''}(x)=0$ é um ponto de inflexão. Veja o exemplo da função $f(x)=x^{4}$ .

Análise da concavidade de uma função

Exemplos:
Determine os intervalos abertos nos quais f(x) têm a concavidade para cima e para baixo:

a) $f(x)=2x^{3}-6x^{2}+1$

Primeiro passo é derivar duas vezes

$f(x)=2x^{3}-6x^{2}+1$ ;
$f'(x)=6x^{2}-12x$ ;
$f''(x)=12x-12$ .

Em seguida, deve-se analisar pode $f''$ é maior do que zero e menor do que zero.

$f''>0$

$12x-12>0$
$12x>12$
$x>1$ .

Então, f(x) é concava para cima em $(1,+\infty)$ .

$f''<0$

$12x-12<0$
$12x<12$
$x<1$ .

Então, f(x) é concava para baixo em $(-\infty,1)$ .

b) $f(x)=sen(x)$

Iniciamos derivando duas vezes

$f(x)=sen(x)$ ;
$f'(x)=cos(x)$ ;
$f''(x)=-sen(x)$ .

Em seguida, deve-se analisar o sinal da segunda derivada:

$f''>0$

$-sen(x)>0$
$sen(x)<0$ .

Então, f(x) é concava para cima em $\big((2k+1)\pi,(2k+2)\pi\big)$ para $k\in\mathbb{Z}$ .

$f''<0$

$-sen(x)<0$
$sen(x)>0$ .

Então, f(x) é concava para baixo em $\big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)$ para $k\in\mathbb{Z}$ .

Acompanhe outros exemplos em vídeo clicando aqui.