Conceito de Função: Contexto Histórico

Conceito de Função: Contexto Histórico

Atualmente representa-se uma função por meio de tabelas, formas gráficas ou verbalmente, mas nunca pensamos quantos grandes homens precisaram contribuir para que o conceito de função fosse construído.

Na antiguidade o homem precisava controlar os objetos e os animais.  Para isso associava seu rebanho a pequenas pedras, uma para cada animal. Assim, se estabelece uma relação de dependência entre as pedras e os animais.

Esse processo contribuiu para a criação da contagem. O ato de contar podia ser facilmente realizado com os dedos permitindo a contagem até 20, caso se utilizassem os pés também.

No entanto, para contagens maiores era comum utilizar pedras, bastões e até ossos. 

 Tábuas dos Babilônios

Ainda neste período percebemos que estas associações ocorreram de diversas maneiras:  os babilônicos, por exemplo, utilizavam as tábuas. Esse instrumento era composto por valores numéricos organizados em uma tabela que apresentavam relações entre duas colunas.

Geralmente a segunda coluna era o resultado de uma operação utilizando as quantidades da primeira. Por exemplo, uma tabela com o quadrado dos números. Na primeira coluna estavam quaisquer números e na segunda coluna o seu quadrado.

Ou seja, o número 1 na primeira coluna e na segunda o seu quadrado 1; depois apareceria o 2 e o seu quadrado 4; o 3 e seu quadrado 9 e assim sucessivamente.

Essa correspondência entre dois valores é conhecida como relação funcional, na qual um determinado valor tem outro valor correspondente a ele foi a partir dessa ideia que surgiu a função.

 No século 2 a ideia de função também aparece na obra  Almagesto do matemático grego Cláudio Ptolomeu.

Almagesto 

É um tratado matemático e astronômico escrito no século II por Cláudio Ptolomeu. A obra, escrita em grego, adota o modelo geocêntrico para o sistema solar, além de conter um extenso catálogo estelar.

Em seu trabalho, Ptolomeu desenvolveu tabelas trigonométricas para serem utilizadas na astronomia. As ideias sobre o conceito são encontrados também nas obras dos matemáticos gregos Apolônio de Perga e Arquimedes.

Embora os trabalhos dos dois fossem mais voltados para a geometria, percebemos como a noção intuitiva de função já aparece aqui.

A história do conceito de função possui muitas reviravoltas, o que justifica as inúmeras mudanças entre as notações empregadas antigamente e as utilizadas hoje.

O que se mantém igual são os fundamentos do conceito, a contagem, a representação gráfica e a relação funcional, mas isso até o século XIV. 

François Viète

Foi com o matemático francês François Viète, a partir do século 16, que a álgebra sofreu avanços em sua notação e ganhou normas.

Antes do modelo proposto por Vietè, era comum se utilizar  letras ou símbolos diferentes para representar uma potência. Um exemplo do resultado da contribuição de Vietè na padronização foi a transformação de

, e em , e , respectivamente. 

No século seguinte o 17, iniciou-se a revolução científica. Ela criou a concepção científica moderna que permitiu a construção de um método de investigação.  A revolução afetou a maneira como as pessoas e, principalmente, os cientistas vieram a interpretar o mundo. 

Galileu Galilei 

O principal responsável pelo método científico foi o filósofo italiano Galileu Galilei. Ele também contribuiu para o estudo de modelos para representar os fenômenos da natureza. 

Ele trabalhava com variáveis que dependiam de outras. Além disso, ele foi responsável por inserir variáveis de quantidade que poderiam ser mensurados e tais valores eram representados graficamente.

Galileu fez a demonstração de que o peso de um objeto não influenciava sua velocidade em queda livre e enunciou que o espaço percorrido por um objeto em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado para percorrer esse espaço.

Em outras palvras, a distância percorrida por um corpo em queda livre obedece a seguinte expressão:

, 

onde é a aceleração da gravidade e o tempo gasto até o solo. 

Também estabeleceu a relação funcional entre as grandezas e viu que a sequência de dados obtidos para as medidas do espaço criavam uma progressão aritmética de segunda ordem.

Conceito de Função por Galileu 

E foi no estudo dos movimentos que, de certa forma, surgiu o conceito de função, mesmo não havendo formalização por parte de Galileu. 

Conta-se que Galileu Galilei (1564-1642) após observar o movimento oscilatório do candelabro da catedral em Pisa – indo e vindo – realizou experiências com pêndulos de diferentes massas e comprimentos, constatando que o período de oscilação dependia somente do comprimento e não das massas dos pêndulos.

Este último resultado levantava sérias suspeitas sobre se a queda dos corpos dependia de suas propriedades (massas, formas, composições químicas, etc.). Então, segundo a lenda, ele subiu no alto da famosa torre da cidade para lá de cima verificar esta hipótese.

Abandonou objetos de pesos diferentes do alto da torre e constatou que eles mantinham suas posições relativas durante a queda, percebendo que a velocidade de queda dos corpos independe de suas massas.

René Descartes – Conceito de Função

Nessa época o filósofo e matemático francês René Descartes, na obra Discurso do Método, baseou-se na razão para dar fundamento a certeza científica, criando o método científico.

Descartes também foi um dos criadores da chamada geometria analítica. A ideia era definir a posição de um ponto por meio de uma sequência de números. Ela foi sugerida em problemas de navegação que levaram a adaptar o sistema às coordenadas geométricas.

Para Descartes uma equação de duas variáveis poderia ser representada geometricamente por uma curva, isso indicava uma dependência entre valores das variáveis. 

Outra contribuição dele foi considerar uma função como qualquer potência de X. Assim, uma função poderia ser representada como

.

Em um dos apêndices da obra mais famosas, O Discurso do Método, encontra-se o método designado por ele para fazer a representação por meio de coordenadas. 

No entanto, não era muito sistemático o desenvolvimento do método, pois obrigavam os leitores da obra a construir um método por si mesmos.  O texto do trabalho era extremamente difícil para leitura e limitava a divulgação do conteúdo.

Pierre de Fermat – Conceito de Função

O auxílio então veio do matemática francês Pierre de Fermat. Ele trabalhou também na criação de bases da geometria analítica e propôs em refazer a obra lugares planos do matemático grego Apolônio. 

A descrição da geometria analítica de Fermat era muito mais sistemática e didática que Descartes. Essas ideias de Descartes e Fermat juntas permitiram a criação do plano cartesiano. 

Ele consiste em dois eixos perpendiculares, duas retas que formam um ângulo de 90° entre si. Neste plano temos o eixo horizontal (abscissas) e o eixo vertical (ordenada). A abscissa corresponde ao eixo X  já a ordenada corresponde ao eixo Y. 

Os dois eixos ao se cortarem formam quatro regiões conhecidas como quadrantes e o ponto de interseção dos eixos é conhecido como origem. 

Enumerando de forma anti-horária temos o primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante e para indicar coordenadas no plano utiliza-se o par ordenado (X, Y).

Assim, percebe-se que vários fatores permitiram o progresso, mesmo que ainda primitivo do conceito de função.

Newton e Leibniz – Conceito de Função

Podemos destacar a revolução científica como principal fator, pois introduziram grandes cientistas como Galileu. Além de novos que viriam a surgir para consolidar o conceito de função.

O conceito de função teve de percorrer uma longa estrada até se tornar o que é hoje.  Nessa caminhada alguns fatores tiveram maior peso no desenvolvimento do conceito e um deles, sem dúvida, foi a Revolução Científica que gerou o plano cartesiano e o início da normalização dos cálculos. 

No período dos séculos 17 e 18 podemos destacar dois grandes matemáticos: o inglês Isaac Newton e o alemão Leibniz. Ambos trabalharam no desenvolvimento do Cálculo Diferencial. 

Newton

Newton produziu muitas pesquisas para área de física, utilizando a matemática como ferramenta. Preocupava-se com a cinemática e contribuiu para o conceito de função, demostrando que tais funções poderiam ser escritos com uma série de potências.

Além disso, foi o responsável por introduzir o termo variável independente. Também desenvolveu o chamado método dos fluxos, que considerava a curva gerada pelo movimento contínuo.

Os valores das abscissas e das ordenadas variavam, sendo as variáveis associados o fluente e as taxas de variação o fluxo. 

Leibniz

O matemático Leibniz foi o primeiro a dar o nome função a quantidade geométricas que dependiam de um ponto numa curva, ou seja, a quantidade que depende de uma variável.  Introduziu os termos constante, variável e parâmetro.

James Gregory – Conceito de Função

No ano de 1667, James Gregory em sua obra Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, de 1668, introduziu o conceito de função sem utilizar a palavra propriamente dita. 

Para ele uma função seria uma quantidade obtida de outras quantidades pela sucessão de operações algébricas ou operação imaginárias. 

Johann Bernoulli – Conceito de Função

Após a publicação de um artigo de jornal de Johann Bernoulli, em 1698, que o conceito de função acabou se popularizando entre os matemáticos, porque até então o conceito de função ainda não representava nenhum tipo de teoria.

Ele utilizou a palavra função como solução de um problema.  Considerava como a quantidade composta por uma variável e por constante.  A partir desta definição foi necessário escrever as funções em fórmulas.

Euler – Conceito de Função

No século 18, Leonardo Euler também fez sua contribuição para o conceito de função na obra intitulada Introdução a Análise Infinitesimal.

Neste trabalho ele considerou que uma função de quantidade variável é uma expressão analítica composta por tal quantidade e números ou quantidades constantes.

Assim, as representações de funções passam a ser dadas por fórmulas  matemáticas. Nessa mesma obra, ele introduziu a notação para representar uma função de .

Assim, ao invés de representar uma função por uma letra como

,

ele representa como

.

Euler não apresentou explicação formal sobre o que seria uma expressão analítica, no entanto tentou dar o significado, dizendo que tais expressões envolviam  as quatro operações fundamentais, raízes, exponenciais e logaritmos.

É importante salientar que, no entanto, o responsável pela origem do conceito de função não foi Euler, ele simplesmente tratou o cálculo como a teoria formal de funções.

D’Alembert – Conceito de Função

Durante o século 18 o conceito de função sofre uma grande reformulação, devido ao chamado problema da corda vibrante. A ideia que uma função poderia ser pensada como a expressão analítica definida por uma série de potências era bem restrita a problemas matemáticos. 

O problema da corda vibrante consiste em determinar o formato de uma corda elástica com os pontos inicial e final fixos em um determinado tempo.

Matemático, filósofo e escritor francês Jean le Rond d’Alembert que contribuiu com organização e publicação da enciclopédia na Europa.

Publicou uma solução para o problema da corda vibrante, demonstrando que o resultado era dado por um tipo de equação chamada de equação diferencial.

Uma vez resolvida essa equação a solução seria uma função  que representava o movimento da corda ao longo do tempo numa direção espacial, por exemplo x.

Euler apresentou uma solução muito parecida com D’Alembert mas não concordava com algumas considerações feitas por ele.

Daniel Bernoulli – Conceito de Função

Em 1753 o matemático e físico suíço Daniel Bernoulli, filho de Johann Bernoulli, apresentou uma terceira visão para o problema com ponto de vista mais físico.

Ele percebeu que a corda poderia vibrar de infinitas maneiras diferentes, mas a preocupação de Bernoulli era resolver o problema físico e não conceituar função.

Euler e D’Alembert achavam um absurdo a resolução do problema e usaram instrumentos musicais da época em seus argumentos para demonstrar que Bernoulli estava errado.

Joseph Louis Lagrange – Conceito de Função

O matemático italiano Lagrange também contribuiu para o problema da corda vibrante através de uma solução mais geral. Para Lagrange uma função representava operações com valores tidos como conhecidos e que ao serem realizados tinha-se valores desconhecidos.

Por exemplo, se você tivesse o número 5 como a quantidade conhecida, ao realizar uma operação com esse valor como somar 10 o resultado seria 15.

Esse resultado seria a quantidade desconhecida que você descobriria realizando a operação em questão. 

Vê-se, portanto, que o século 18 foi repleto de avanços devido principalmente ao problema da corda vibrante e as definições de Bernouli complementados pelos trabalhos de Euler.

Porém, mesmo com tanto progresso no conceito de função ainda estava longe de chegar ao formato que possui hoje.

Século XVIII

Com a chegada do século 18 o conceito de função evolui a passos largos graças a contribuição de Bernouli e de Euler  e do problema da corda vibrante. O conceito se aproximou do formato que possui hoje.

Ao final do século 18 houve a necessidade de formalizar os fundamentos dos cálculos, pois até então havia sido usada muito intuição é informalidade.

O matemático Bernard Bolzano é considerado o pioneiro nessa formalização. 

Já o conceito de função também precisava ser claramente definido, o que implicou o surgimento da análise matemática, que tinha como objeto as funções. 

Joseph Fourier – Conceito de Função

Em 1807 o matemático francês Joseph Fourier apresentou na academia de ciências da França um trabalho que tratava da propagação do calor em barras, chapas e sólidos metálicos.

No trabalho, há uma contribuição para o conceito de função, pois Fourier afirmava que toda função poderia ser expressa por uma função trigonométrica, mas especificamente como uma série trigonométrica. 

Abaixo um exemplo da onda quadrada expandida em série de Fourier.

Augustin-Louis Cauchy – Conceito de Função

O  matemático francês Augustin-Louis Cauchy contribuiu para dar mais rigor a matemática. 

Para ele era possível determinar o valor de quantidades variáveis a partir do conhecimento de apenas uma delas, desde que possuíssem algum tipo de relação entre si.

Essa quantidade conhecida era expressa por meio de uma variável considerada independente, já as outras quantidades derivadas desse valor constituiam as chamadas funções dessa variável.

Peter Diriclet – Conceito de Função

Em 1837 o matemático alemão Peter Diriclet demonstrou que nem todas as funções poderiam ser escritas como séries de fourier.

Tais séries mostraram que qualquer função, por mais complicado que fosse, poderia ser decomposta como uma soma de senos e cossenos. 

Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto X, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto.

Nesse trabalho, Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido. Para isso, foi necessário fazer a separação entre o conceito de função e sua representação analítica. 

Ampliou-se seu conceito, determinando que fosse uma correspondência arbitragem entre variáveis. Isso quer dizer que não era mais necessário partir de uma fórmula para representar uma função, bastava uma associação entre variáveis.

Diriclet considerava a variável como um símbolo para representar um elemento de um conjunto numérico.

Para ele se uma variável X tem uma associação com uma variável Y , de modo que sempre que se atribui o valor para X, existe uma regra na qual apenas uma Y era determinada.

Assim,Y era uma função da variável independente X.

Movimento Bourbaki – Conceito de Função

No século 20 surgiu o movimento chamado de matemática moderna que se baseava na formalidade, no rigor dos fundamentos, da teoria dos conjuntos e da álgebra para ensino da matemática, teoria essa desenvolvida por George Cantor entre os séculos 19 e 20. 

Nesse período, um grupo de matemáticos criou o chamado movimento Bourbaki que tinha o objetivo de fundamentar toda a matemática na teoria dos conjuntos, fazendo assim a propagação das ideias da Matemática moderna.

A definição que Diriclet deu para uma função foi reformulada pelo movimento Bourbaki. 

Esse movimento tomava dois conjuntos A e B, por exemplo, e consideravam a relação de uma variável X pertencente ao conjunto A e uma variável Y pertencente ao conjunto B.

Somente era uma função se para todo X existisse exatamente um único elemento Y. Isso significa que não é função caso haja o valor de X não relacionado ou dois ou mais valores de Y para o único de X.

Conceito de Função 

O conceito de função sofreu várias transformações ao longo da história, à medida que a sociedade passava por alterações. 

Seu conceito foi sendo reformulado conforme as necessidades.  Esse fato demonstra que a função não pode ser considerada um saber estático e imutável ao longo do tempo.

Foram necessários muitos séculos para que chegasse o formato e conceito que possui hoje. 

O conceito de função está presente em várias áreas da matemática e também outras ciências como a física, química, biologia, engenharias, entre outras. 

Já fizemos diversos posts sobre funções abordando vários exercícios resolvidos. Se quiser saber mais clique aqui. 

Espero que tenham gostado deste post. Um grande abraço.