Cálculo do volume dos sólidos de revolução

Cálculo do volume dos sólidos de revolução – exercícios resolvidos

Neste post apresentaremos alguns exemplos do Cálculo do volume dos sólidos de revolução. Lembrando que já publicamos de forma resumida a construção da fórmula em que calcula o volume dos sólidos de revolução. Assim, nos dedicaremos hoje apenas na sua aplicação.  

Primeiramente recorde que a fórmula do volume dos sólidos de revolução é dada por 

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onde o volume está dentro do objeto gerado ao girarmos f(x) entorno do eixo x e x=a e x=b.

Determine o volume do objeto gerado ao girarmos a\as função\funções entorno do eixo dado no domínio indicado. 

1) entorno do eixo x com 

Primeiramente vamos construir o gráfico para uma melhor visualização.

Observe que f(x) é a parte positiva de uma circunferência e com o domínio indicado temos apenas um quarto de circunferência. Assim, calcularemos o volume pela integral e, em seguida, aplicaremos a fórmula do volume de esfera para percebermos a igualdade.

Aplicando a fórmula do volume dos sólidos de revolução, temos

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Dessa forma, aplicando as propriedades das integrais temos 

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Agora aplicando a fórmula do volume de esfera

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Lembrando que devemos dividir por 2, pois temos apenas meia esfera. Assim, aplicando temos

que é a igualdade que buscávamos.

2) e entorno do eixo y entre os pontos de intersecção.

Primeiramente vamos construir o gráfico para uma melhor visualização.

Observe que temos as funções dependendo de x, mas como giramos entorno do eixo y, temos que reescreve-la em função de y. Mas primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção ao igualarmos as duas funções. 

Assim para termos a última igualdade x deve ser  ou , logo os pontos são   e .

Agora, transformando as funções, devemos insolar a variável x

e 

.

Assim temos  e .

Finalmente, temos todas as informações para aplicarmos as integrais. Entretanto, só mais uma observação, note que f(y) é maior do que g(y) no interior do intervalo de integração. Portanto, devemos subtrair o volume gerado por g(y) daquele gerado por f(y). Assim

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Aplicando temos

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Este último exercício, resolvemos aqui também usando a fórmula específica para revolução entorno do eixo y. Assim obtemos o resultado desejado, caso você ficou em dúvida em algum passo, nos deixe seu comentário.