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Calculando o comprimento de uma função

Calculando o comprimento de uma função – exercícios resolvidos

Neste post estaremos Calculando o comprimento de uma função. Lembrando que já publicamos de forma resumida a construção da fórmula em que calcula o comprimento de uma curva. Assim, nos dedicaremos hoje apenas na sua aplicação.  

Primeiramente recorde que a fórmula do comprimento de uma curva que é dada por 

\displaystyle S=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\;dx

onde o comprimento é o caminho da função f(x) do ponto x=a  até x=b.

Determine o comprimento da função \displaystyle f(x)=x\sqrt{x} entre x=0  até x=3. 

Para aplicar a fórmula devemos calcular a derivada da função dada. Observe que para derivar ou devemos aplicar a Derivada do produto ou devemos transformar a função ao levar tudo para dentro da raiz.

\displaystyle f'(x)=\frac{d}{dx}\big[x\sqrt{x}\big]=\frac{3\sqrt{x}}{2}.

Dessa forma, aplicando a fórmula  o comprimento da função

\displaystyle S=\int_{0}^{3}\sqrt{1+\left(\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)^{2}}\;dx=\int_{0}^{3}\sqrt{1+\frac{9x}{4}}\;dx.

Observe que para resolvermos a integral dada devemos aplicar o Método da Integração por Substituição. No link que acabamos de deixar apresentamos o método e a resolução passo a passo de um exemplo. Na integração usamos \displaystyle u=1+\frac{9x}{4}, portanto, ao derivar ambos lados temos

\displaystyle du=\frac{9}{4}dx.

Assim, seguindo os demais passos do método temos 

\displaystyle\int \sqrt{1+\left(\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)^{2}}\;dx=\frac{4}{9}\int \sqrt{u}\;du.

Integrando teremos

 \displaystyle \frac{4}{9}\int \sqrt{u}\;du=\frac{8}{27}u\sqrt{u},

substituindo u e voltando ao problema que estamos resolvendo teremos

 \displaystyle \int_{0}^{3}\sqrt{1+\left(\frac{3\sqrt{x}}{2}\right)^{2}}\;dx=\frac{8}{27}\bigg(1+\frac{9x}{4}\bigg)\sqrt{\bigg(1+\frac{9x}{4}\bigg)}\Bigg|^{3}_{0}\approx 6,096.

Portanto, o comprimento calculado é

 \displaystyle S\approx 6,096.

A seguir, a gráfico da função em que calculamos o comprimento.

Calculando o comprimento de uma função

 

Publicado em 09/02/2019, em Integrais.