Aplicações das derivadas no estudo das funções

Aplicações das derivadas no estudo das funções

Neste post veremos uma outra aplicação do estudo das derivadas, que são as Aplicações das derivadas no estudo das funções. Com o auxilio das derivadas podemos obter mais informações sobre o comportamento das funções e assim esboçar com maior precisão o seu gráfico.   

A primeira derivada no estudo das funções

Lembre-se que a primeira derivada, dada por , nos fornece o coeficiente angular da reta tangente, assim nos pontos onde

• a função é crescente;
• a função é decrescente;
• a função possui pontos de máximos ou mínimos local.

Veja este comportamento no exemplo:

Exemplo 1: 

Aplicando a derivada em uma função polinomial temos

.

Iniciamos encontrando os pontos de máximos e mínimos, que consiste em encontrar as raízes, pois devemos fazer .

Para encontrar as raízes você pode utilizar o método que preferir, eu particularmente indico o método Soma e Produto. Assim obtemos

e .

Com este resultado em mãos devemos encontrar onde a função é crescente e decrescente a partir das derivadas e .

Observe que é um problema de inequações, e , onde já resolvemos detalhadamente um exercício similar, caso queira rever clique aqui.

Como é uma inequação do 2º grau com concavidade para cima e já calculamos suas raízes, temos que é crescente em e decrescente em . Observe este comportamento no esboço a seguir

Na figura a baixo encontra-se o gráfico da função dada, onde podemos observar as caracteristicas que acabamos de analisar. 

A segunda derivada no estudo das funções

Se a função admite uma segunda derivada, , então nos pontos onde a função possuir as derivadas

• a função tem a concavidade voltada para cima;
• a função tem a concavidade voltada para baixo;
• são os pontos de inflexão, ou seja, onde a função está muda o sentido da concavidade.

Veja este comportamento na mesma função do exemplo anterior:

Aplicando a derivada duas vezes obtemos

.

Iniciemos calculando os pontos de inflexão, ou seja,  que são os pontos onde a função muda o sentido da concavidade.

Portanto, devemos encontrar , na qual temos 

. 

E para encontrar onde a concavidade é voltada para cima, , ou para baixo, , devemos resolver as inequações, respectivamente, 

e .

Para isto construímos o esboço do gráfico da segunda derivada 

assim percebemos que ela é em o que significa que a concavidade é voltada para cima e  em o que significa que a concavidade é voltada baixo.

Acompanhe a resolução de um exercício de máximos e mínimos em vídeo clicando aqui.