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Alguns exercícios resolvidos de logaritmos – Parte 2

Alguns exercícios resolvidos de logaritmos – Parte 2

Neste post continuaremos a apresentar alguns exercícios resolvidos de logaritmos. Para isso, utilizaremos as Propriedades dos Logaritmos que postamos anteriormente.  

Exercícios resolvidos de logaritmos passo a passo

1) (FUVEST – 2019) Se \displaystyle log_{2} y=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}log_{2}x, para x>0, então

a) \displaystyle y=\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{2}}

b) \displaystyle y=\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}

c) \displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt[3]{x^{2}}

d) \displaystyle y=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{x^{2}}

e) \displaystyle y=\sqrt{2x^{3}}

Primeiramente, observe que temos na equação dois logaritmos de bases iguais. Assim, podemos “uní-los” utilizando a Propriedade do Quociente dos Logaritmos. Dessa forma, primeiro isolamos os logaritmos no lado esquerdo da equação e aplicamos a propriedade da potência.

\displaystyle log_{2} y-\frac{2}{3}log_{2}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow

\displaystyle log_{2} y-log_{2}x^{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow log_{2} y-log_{2}\sqrt[3]{x^{2}}=-\frac{1}{2}

Em seguida, aplicamos a propriedade do quociente, na qual obtemos

\displaystyle log_{2} \frac{y}{\sqrt[3]{x^{2}}}=-\frac{1}{2}.

Por fim, aplicamos a operação do logaritmo

\displaystyle \frac{y}{\sqrt[3]{x^{2}}}=2^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow

\displaystyle \frac{y}{\sqrt[3]{x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y=\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{2}}.

Portanto, a resposta é a letra a.

2) (UFMG 2009) Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente digitado. Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log, até aparecer um número negativo no visor. Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual 

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

Primeiramente, observe que o enunciado fala que a tecla log é o logaritmo decimal, ou seja, de base 10. Assim, cada vez que apertamos a tecla estamos obtemos o logaritmo de base 10 do resultado anterior.  Desta forma, iniciamos digitando o número 10.000

Clicar 1ª vez a tecla log

Ao clicar a tecla log, a calculadora irá fazer

\displaystyle \log_{10} 10000,

onde no visor aparecerá o resultado da seguinte conta

\displaystyle \log_{10} 10000=\log_{10}10^{4}\Rightarrow10^{4}=10^{x}.

Logo,

\displaystyle x=4.

Portanto, no visor da calculadora irá aparecer o número 4. Assim, com N=1 ainda temos valor positivo.

Clicar 2ª vez a tecla log

Ao clicar pela segunda vez a tecla log, a calculadora irá fazer

\displaystyle \log_{10} 4.

Aqui vale lembrar que esta é uma questão de vestibular e, portanto, não temos uma calculadora em mãos. O objetivo desta questão é obter a solução apenas utilizando as propriedades dos logaritmos.

Observe que nenhuma potência inteira de 4 é igual a 10, Dessa forma, \displaystyle \log_{10} 4 será um número decimal. Para termos uma aproximação desse resultado utilizaremos a propriedade de mudança de base

\displaystyle \log_{10} 4=\frac{\log_{2} 4}{\log_{2} 10}=\frac{2}{\log_{2} 10}.

Nesta última igualdade apenas aplicamos o operador logaritmo no numerador, como, 4 é 2 na potência 2, obtemos 2 no numerador. Para o denominador utilizaremos a seguinte análise se 8<10<16 então

\displaystyle \log_{2} 8<\log_{2}10<\log_{2}16.

Como \displaystyle 8=2^{3} e \displaystyle 16=2^{4} temos que

\displaystyle 3<\log_{2}10<4.

Lembre que tinhamos \displaystyle \log_{10} 4=\frac{2}{\log_{2} 10}. Portanto,

\displaystyle \frac{2}{4}<\frac{2}{\log_{2} 10}<\frac{2}{3}.

OBS: quanto maior for o denominador de um mesmo número, menor será o valor da fração.

Portanto, com N=2 ainda temos valor positivo.

Clicar 3ª vez a tecla log

Como não temos um valor exato da segunda vez que clicamos na tecla log, analizaremos os dois extermos da desigualdade anterior.

  • \displaystyle \log_{10}\frac{2}{4}

Iniciamos aplicando a propriedade do quociente dos logaritmos

\displaystyle \log_{10}\frac{2}{4}=\log_{10}2-\log_{10}4<0,

pois \displaystyle 2<4 e ambas logaritmos tem mesma base. Portanto, sabemos que o lado esquerdo da desiqualdade é negativo. Caso o lado direito também será negativo obtemos o resultado da questão.

  • \displaystyle \log_{10}\frac{2}{3}

Iniciamos novamente aplicando a propriedade do quociente dos logaritmos

\displaystyle \log_{10}\frac{2}{3}=\log_{10}2-\log_{10}3<0,

pois \displaystyle 2<3 e ambas logaritmos tem mesma base. Portanto, como ambos lados de

\displaystyle \log_{10}\frac{2}{4}<\log_{10}\frac{2}{\log_{2} 10}<\log_{10}\frac{2}{3}

são valores negativos temos que 

\displaystyle \log_{10}\frac{2}{\log_{2} 10}<0.

Portanto, a resposta é a letra b.