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Alguns exercícios resolvidos de logaritmos

Alguns exercícios resolvidos de logaritmos

Neste post apresentaremos alguns exercícios resolvidos de logaritmos. Para isso, devemos utilizar as Propriedades dos Logaritmos que postamos anteriormente.  

Exercícios resolvidos de logaritmos passo a passo

1) (UFRGS – 2018) Se \displaystyle log_{3} x+log_{9} x=1, então qual é o valor de x.

Primeiramente, observe que temos uma equação com dois logaritmos de bases diferentes. Assim precisamos manipular os logaritmos a fim de obter uma equação com uma única base. Podemos escolher como base 3, 9 ou ainda uma outra base. Entretanto, aconselho escolher como base 3 ou 9, assim precisamos manipular apenas um dos logaritmos. Se escolhermos 3 ou 9 obteremos o mesmo resultado, como veremos a seguir.

1ª proposta: mudança de base para a base 9
Utilizando a propriedade de mudança de base para log_{3} x temos

\displaystyle \log_{3} x=\frac{\log_{9}x}{\log_{9}3}.

Onde

\displaystyle \log_{9}3=y\Rightarrow 3=9^{y}\Rightarrow y=\frac{1}{2}.

Assim temos

\displaystyle \log_{3} x=2\log_{9}x

e substituindo na equação original temos

\displaystyle 2\log_{9}x+\log_{9}x=1\Rightarrow
\displaystyle 3\log_{9}x=1\Rightarrow \log_{9}x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=9^{\frac{1}{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{9}.

2ª proposta: mudança de base para a base 3
Utilizando a propriedade de mudança de base para log_{9} x temos

\displaystyle \log_{9} x=\frac{\log_{3}x}{\log_{3}9}.

Onde

\displaystyle \log_{3}9=y\Rightarrow 9=3^{y}\Rightarrow y=2.

Assim temos

\displaystyle \log_{9} x=\frac{\log_{3}x}{2}

e substituindo na equação original temos

\displaystyle \log_{3}x+\frac{\log_{3}x}{2}=1\Rightarrow
\displaystyle \frac{3\log_{3}x}{2}=1\Rightarrow \log_{3}x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=3^{\frac{2}{3}}\Rightarrow x=\sqrt[3]{9}.

Dessa forma, obtemos o resultado por duas maneiras diferentes. 

2) (UDESC-2008) Se \displaystyle log_{a} b=3 e \displaystyle log_{ab} c=4, então qual é o valor de \displaystyle log_{a} c .

Neste tipo de exercício devemos manipular o logaritmo que queremos solucionar a fim de usar as informações dadas pelo problema. Para isto, iniciamos fazendo uma mudança de base “ao contrário”

\displaystyle \log_{b} c=\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}\Rightarrow\log_{a}c=\log_{a}b\cdot \log_{b} c.

O primeiro logaritmo do lado direito é fornecido pelo problema, na qual precisamos apenas substituir o valor dado. Desta forma, temos o seguinte problema

\displaystyle \log_{a}c=3\cdot \log_{b} c.

Para resolver este segundo logaritmo utilizaremos a outra informação dada pelo problema. Para isto precisamos fazer uma nova mudança de base

\displaystyle \log_{b} c=\frac{\log_{ab}c}{\log_{ab}b}.

Que substituindo a informação dada pelo problema temos

\displaystyle \log_{b} c=\frac{4}{\log_{ab}b}

e ao substituir esta parte no problema que estamos resolvendo temos

\displaystyle \log_{a}c=3\cdot \frac{4}{\log_{ab}b}=\frac{12}{\log_{ab}b}.

Por fim, precisamos de mais uma mudança de base

\displaystyle \log_{ab}b=\frac{\log_{a}b}{\log_{a}ab}

e aplicando a Propriedade do Produto dos logaritmos no denominador temos

\displaystyle \log_{ab}b=\frac{\log_{a}b}{\log_{a}a+\log_{a}b}=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}.

Para finalizar, precisamos apenas substituir e fazer a operação da divisão de frações 

\displaystyle \log_{a}c=\frac{12}{\frac{3}{4}}=12\cdot \frac{4}{3}=16.