A meia-vida de determinado medicamento – função exponencial

A meia-vida de determinado medicamento – função exponencial

Neste post abordaremos as funções que descrevem a meia-vida de determinado medicamento. Estas funções são do tipo exponencial. A temática deste post é baseada na questão enviado por um dos nossos alunos. Esta questão é do vestibular da UFRGS de 2020.

(UFRGS 2020) A concentração de alguns medicamentos no organismo está relacionada com a meia-vida, ou seja, o tempo necessário para que a quantidade inicial do medicamento no organismo seja reduzida pela metade. Considere que a meia-vida de um determinado medicamento é de 6 horas. Sabendo que um paciente ingeriu 120mg desse medicamento às 10 horas, assinale a alternativa que representa a melhor aproximação para a concentração desse medicamento, no organismo desse paciente, às 16 horas do dia seguinte.

(A) 2,75 mg.
(B) 3 mg.
(C) 3,75 mg.
(D) 4 mg.
(E) 4,25 mg.

Resolução:

Primeiramente, se você estiver em um vestibular, você pode/deve resolver da forma mais rápida possível para sobrar tempo para as demais questões. Assim, vou apresentar duas formas de resolver: uma a que julgo mais rápida/intuitiva e outra utilizando conhecimentos de funções exponenciais.

Primeira forma:

A primeira é a forma mais rápida. A questão diz que a meia-vida é de 6 horas, ou seja, a cada 6 horas o medicamento no organismo reduz pela metade. Portanto, basta fazer uma tabela em que na linha superior a cada coluna você soma 6 horas e na linha inferior você divide pela metade (por 2).

Portanto, a resposta é a letra C.

Segunda forma:

A segunda forma de resolver é utilizando os conhecimentos de funções exponenciais. A função exponencial geral de meia-vida é da seguinte forma

onde t é a variável tempo decorrido, é a quantidade inicial e c é a constante de decaimento. A quantidade inicial a questão já nos informa que é 120mg, assim, temos

.

A segunda informação dada pela questão é que a meia-vida é de 6 horas. Assim, a quantidade inicial cai para 60mg em 6 horas. Substituindo estas informações na função temos

.

Agora iremos fazer uma série de manipulações para determinarmos a constante c,

Em seguida, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados

.

Mas por que aplicar o logaritmo natural? Pois queremos manipular a equação a fim de isolar a variável c, para isto iremos utilizar a Propriedade da Potência dos logaritmos. Assim, aplicando está propriedade temos

e como temos

.

Portanto,

.

Dessa forma, substituindo c na função desejada temos

.

Por fim, como , temos que 

.

Finalmente, aplicando o tempo desejado na função obtida, obteremos o resultado. São 14 horas do primeiro dia mais 16 horas do segundo dia, assim, se passaram 30 horas que o paciente ingeriu o medicamento. Portanto, temos

.

Portanto, a resposta correta é a letra C.