Derivadas

Derivadas – Taxa de variação

 

As Derivadas podem ser ditas como sendo a taxa de variação instantânea de uma determinada função, na qual expressa, por exemplo, a inclinação da reta tangente, a velocidade instantânea em um determinado ponto, entre outras.

Vamos explicar este conteúdo focalizando na inclinação da reta tangente (coeficiente angular). Caso queira construir em outro contexto, se faz de forma semelhante.

Observe os pontos A e B na figura a seguir, por onde passa a reta secante da curva f(x):

Derivadas: inclinacao-de-uma-reta

Podemos encontrar a inclinação desta reta de várias formas, como por exemplo através de um sistema linear partindo da equação geral das retas.

Vamos utilizar uma forma mais direta que é a razão entre as distâncias dos pontos em f(x) pela distância em x: 

\displaystyle a=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} .

Quando x_{1} tender a  x_{0}, ou seja, x_{1}\rightarrow x_{0}, o ponto B se desloca na curva se aproximando de A .


Obs: Desloque o ponto B ou clique no botão do canto inferior esquerdo.

Se a reta secante \overline{AB} atingir um limite quando x_{1}\rightarrow x_{0}, então torna-se tangente ao ponto A .

inclinacao-de-uma-reta-tangente

Assim, a torna-se o coeficiente angular da reta tangente da curva f(x) no ponto  A : 

\displaystyle a=\lim\limits_{x_{1} \rightarrow x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} .

Em muitos livros encontra-se a seguinte substituição h=x_{1}-x_{0} e, por consequência,  x_{1}=x_{0}+h .

Deste modo, deve-se também reavaliar o limite, como x_{1}\rightarrow x_{0}, então h\rightarrow 0 . Substituindo tem-se: 

\displaystyle a=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} .

Acompanhe também a explicação de Derivadas em vídeo clicando aqui.