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Resolvendo a integral 4xcos(x²+2) usando Integração por Substituição

Resolvendo a integral 4xcos(x²+2) usando Integração por Substituição

Neste post resolveremos a integral 4xcos(x²+2) utilizando a técnica de Integração por Substituição. Lembrando que recentemente publicamos uma ideia inicial da Integração por Substituição, como sendo a antiderivada da Regra da cadeia. 

Dica: se você ao observar uma integral perceber que o integrando pode ser separado em dois termos e que a derivada de um deles é semelhante ao outro, possivelmente a metodologia a ser utilizada  é a Integração por Substituição. 

Resolvendo a integral

\displaystyle \int 4xcos(x^2+2)dx

Neste exercício podemos perceber o que dissemos na dica a cima. Observe que a derivada do argumento da função cosseno é semelhante ao outro termo do integrando.

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[x^2+2\bigg]=2x

Assim, quando substituímos \displaystyle u=x^2+2 e derivando ambos os lados 

\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigg[x^2+2\bigg]=2x

\displaystyle \Rightarrow \; \; \frac{du}{2x}=dx.

Substituindo na integral original obtém-se

\displaystyle \int 4xcos(x^2+2)dx=\int 2\cdot 2xcos(u)\frac{du}{2x}

e simplificando chega-se a uma integral imediata 

\displaystyle 2\int cos(u)du.

Ao aplicar a integral imediata teremos

\displaystyle2\int cos(u)du=2\cdot sen(u)+C.

Por fim, substituindo a expressão referente a u chega-se a solução da integral

\displaystyle2sen(u)+C=2sen(x^2+2)+C.

Portanto,

\displaystyle \int 4xcos(x^2+2)dx=2sen(x^2+2)+C.

Publicado em 29/12/2018, em Integrais.