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Cálculo do comprimento de uma função

Cálculo do comprimento de uma função – exercícios resolvidos

Neste post apresentaremos um exemplo do Cálculo do comprimento de uma função. Lembrando que já publicamos de forma resumida a construção da fórmula em que calcula o comprimento de uma curva. Assim, nos dedicaremos hoje apenas na sua aplicação.  

Primeiramente recorde que a fórmula do comprimento de uma curva que é dada por 

\displaystyle S=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\;dx

onde o comprimento é o caminho da função f(x) do ponto x=a  até x=b.

Determine o comprimento da função dada entre x=a  até x=b. 

1)\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^{2} para \displaystyle 1\leq x\leq 3

Para aplicar a fórmula devemos calcular a primeira derivada.

\displaystyle f'(x)=\frac{d}{dx}\bigg[\frac{1}{2}x^{2}\bigg]=x.

Dessa forma, aplicando a fórmula  o comprimento da função

\displaystyle S=\int_{1}^{3}\sqrt{1+(x)^{2}}\;dx=\int_{1}^{3}\sqrt{1+x^{2}}\;dx.

Observe que para resolvermos a integral dada devemos aplicar o Método da Substituição Trigonométrica. No link que acabamos de deixar tem a resolução passo a passo de um integral muito parecida com esta. Assim, seguindo os passos chegaremos a 

\displaystyle S=\frac{1}{2}\bigg(x\sqrt{1+x^{2}}+ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)\bigg)\bigg|_{1}^{3}\approx 4,50485.

Observe o gráfico da função dada na figura a seguir.

Cálculo do comprimento de uma função

Dica: Caso você estiver em uma prova e não sabe se fez os cálculos certo ou errou algum passo, busque uma aproximação da solução para conferir. Neste caso, se construir um triangulo retângulo com os pontos A(1,f(1)), B(3,f(1)) e C(3,f(3)), juntamente com o Teorema de Pitágoras encontrará que o segmento AC é aproximadamente 4,47. Logo, nosso resultado do comprimento da função faz sentido, pois a curva é muito próxima do segmento AC.

Publicado em 27/10/2018, em aplicações, Integrais.