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Cálculo da área entre três curvas

Cálculo da área entre três curvas – aplicações das integrais definidas

Neste post apresentaremos a resolução do cálculo da área entre três curvas. Lembrando que quando a área desejada estiver entre mais do que duas curvas, devemos analisar os pontos de intersecção. Resolveremos um exercício e deixaremos as dicas para a resolução de outro.

Com o uso das Integrais, determine a área destacada.

área entre três curvas

onde

  • \displaystyle f(x)=2x-1 
  • \displaystyle g(x)=-\frac{x}{2}+4
  • \displaystyle h(x)=(x-2)^{2}

Primeiramente devemos determinar os intervalos de integração.  Como vimos no post anterior, a área entre curvas é dada pela integral da subtração das funções. Lembrando que devemos sempre subtrair a função maior pela menor. 

Assim, observando a figura dada percebemos que a função menor ora é h(x) ora f(x). Desse modo, separaremos o cálculo da área entre três curvas em duas integrais. Neste exercício os intervalos de integração (pontos de intersecção) são visíveis pelo gráfico, caso não fossem deveríamos igualar duas a duas funções e determinar as raízes, que são os pontos de intersecção.

Dessa forma temos

\displaystyle \displaystyle A_{1}=\int^{1}_{0}g(x)-h(x)dx

e

\displaystyle A_{2}=\int^{2}_{1}g(x)-f(x)dx.

Calculando as duas integrais separadamente temos 

\displaystyle A_{1}=\int^{1}_{0}g(x)-h(x)dx=\int^{1}_{0}-x^{2}+\frac{7x}{2}dx=

\displaystyle =\bigg(-\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{4}\bigg)\bigg|^{1}_{0}=-\frac{1}{3}+\frac{7}{4}=\frac{17}{12}.

e

\displaystyle A_{2}=\int^{2}_{1}g(x)-f(x)dx=\int^{2}_{1}-\frac{5x}{2}+5dx= 

\displaystyle \bigg(-\frac{5x^{2}}{4}+5x\bigg)\bigg|^{2}_{1}=-\frac{20}{4}+10+\frac{5}{4}-5=\frac{5}{4}.

Assim sendo, a área entre as três curvas é 

\displaystyle A=A_{1}+A_{2}=\frac{17}{12}+\frac{5}{4}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}.

Sugerimos para você o exercício do cálculo da área da outra região limitada por estas três curvas.

área entre três curvas 2

Entretanto, deixamos como dica que os pontos de intersecção entre h(x) e g(x) são em x=0 e x=7/2, e o valor da área desejada que é A=215/48.

Publicado em 01/09/2018, em aplicações, Integrais.