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Resolvendo Integral exp(x)cos(x) usando Integração por partes

Resolvendo Integral exp(x)cos(x) usando Integração por partes

No post anterior resolvemos \displaystyle \int ln(2x+3)dx, como prometido, daremos continuidade Resolvendo Integral exp(x)cos(x). Neste exercício, mais do que saber utilizar a técnica da Integração por partes, precisamos ter um insight. Ou seja, precisamos ter um sensibilidade para perceber que dentro da resolução aparecerá novamente a integral original. Aparentemente, ao aplicar a técnica da Integração por partes neste tipo de questão, estamos andando em circulo. Entretanto, é justamente isto que resolverá a integral.

Resolva: \displaystyle \int e^{x}cos(x)dx

O primeiro passo para utilizarmos a Integração por partes é definirmos as funções u(x) e dv. Nesta integral é indiferente a escolha, nós optaremos u(x)=exp(x) e dv=cos(x)dx. Entretanto, você poderá escolher ao contrário e seguir os mesmos passos de resolução. Assim,

\displaystyle u(x)=e^{x} que implica em \displaystyle du=e^{x}dx.

\displaystyle dv=cos(x)dx que implica em \displaystyle v=sen(x).

Aplicando a técnica da Integração por partes temos

\displaystyle \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.

Substituindo,

\displaystyle \int e^{x}cos(x)dx=e^{x}sen(x) -\int sen(x)e^{x}dx.

Perceba que após aplicarmos a Integração por Partes, aparentemente, não resolvemos nada. Pois, permanecemos com uma integral que é formada por uma função exponencial vezes uma trigonométrica. Entretanto, estamos no caminho certo.

Como ainda temos uma integral no lado direito, devemos aplicar novamente a Integração por partes. Neste exercício é indiferente a escolha das funções u(x) e dv, note que grifei que neste exercício, pois na sua maioria a escolha influenciará na resolução. Assim,  

\displaystyle u(x)=e^{x} que implica em \displaystyle du=e^{x}dx.

\displaystyle dv=sen(x)dx que implica em \displaystyle v=-cos(x).

Substituindo os termos encontrados na fórmula da técnica da Integração por partes, temos

\displaystyle \int e^{x}cos(x)dx=e^{x}sen(x) -\int sen(x)e^{x}dx=

\displaystyle e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x)-\int cos(x)e^{x}dx.

Organizando a expressão toda, temos

\displaystyle \int e^{x}cos(x)dx=e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x)-\int e^{x}cos(x)dx.

Observe que a integral do termo da direito é igual a integral da esquerda, assim, isolando as duas no lado esquerdo, teremos

\displaystyle 2\int e^{x}cos(x)dx=e^{x}sen(x)+e^{x}cos(x)+C.

Por fim, dividindo ambos os lados por 2, obtemos o resultado desejado

\displaystyle \int e^{x}cos(x)dx=\frac{e^{x}sen(x)+e^{x}cos(x)}{2}+C.

Obs: como já escrevi em posts anteriores, note que coloquei a constante C apenas no fim, quando não tinhamos mais uma integral no lado direito. Visto que, cada integral produz uma nova constante.

 

Publicado em 28/07/2018, em aplicações, Integrais. Marcado com as tags integração por partes, integral.