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Integração por Substituição passo a passo – Resolvendo Integrais

Integração por Substituição passo a passo – Resolvendo Integrais

Neste post resolveremos algumas integrais utilizando a Integração por Substituição passo a passo. Lembrando que recentemente publicamos uma ideia inicial da Integração por Substituição, como sendo a antiderivada da Regra da cadeia.  Para ficar mais clara a sua aplicação, dedicaremos este post a resolver alguns exemplos passo a passo buscando eliminar possíveis dúvidas.

Dica: se você ao observar uma integral perceber que o integrando pode ser separado em dois termos e que a derivada de um deles é semelhante ao outro, possivelmente a metodologia a ser utilizada  é a Integração por Substituição. 

Obs: lembre-se que ao fazer a substituição, a variável do problema original não deve mais aparecer na nova integral. Ou seja, devemos ter apenas a variável que tivermos proposto para a substituição, em geral, utilizamos a substituição de uma função de x para um função em u.

Exercícios resolvidos de Integração por Substituição passo a passo  

 1)\displaystyle \int cos^{3}(2x)sen(2x)dx

Neste exercício podemos perceber facilmente o que dissemos na dica, pois a derivada

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[cos(2x)\bigg]=-2sen(2x)

é semelhante do outro termo do integrando. Assim, quando substituímos \displaystyle u=cos(2x) e derivando ambos os lados 

\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigg[cos(2x)\bigg]=-2sen(2x)

\displaystyle \Rightarrow \; \; \frac{du}{-2sen(2x)}=dx.

Substituindo na integral original obtém-se

\displaystyle \int cos^{3}(2x)sen(2x)dx=\int u^{3}sen(2x)\frac{du}{-2sen(2x)}

e simplificando chega-se a uma integral imediata em que sabemos sua integral

\displaystyle -\frac{1}{2}\int u^{3}du.

Ao aplicar a integral imediata teremos

\displaystyle -\frac{1}{2}\int u^{3}du=-\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3+1}}{3+1}+C=-\frac{u^{4}}{8}+C.

Por fim, substituindo a expressão referente a u chega-se a solução da integral

\displaystyle -\frac{u^{4}}{8}+C=-\frac{cos^{4}(2x)}{8}+C.

Portanto,

\displaystyle \int cos^{3}(2x)sen(2x)dx=-\frac{cos^{4}(2x)}{8}+C.

 

2)\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}}dx

Novamente, o primeiro passo é determinar qual termo que derivado possui mesma estrutura dos demais, que podemos simplificar ou substituir a fim de eliminar a variável x.

Neste caso, perceba que se derivarmos a função que está no radicando (dentro da raiz), obteremos uma função semelhante da função do numerador. Assim, ao fazer a substituição eliminaremos a variável x. Tomando \displaystyle u=x^{3}-4 e derivando ambos os lados 

\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigg[x^{3}-4\bigg]=3x^{2},

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\displaystyle \frac{du}{3x^{2}}=dx.

O próximo passo é substituir na integral dada a expressão u e dx, onde teremos

\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}}dx=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{u}}\frac{du}{3x^{2}} .

Simplificando chega-se a uma nova integral, agora na variável u. Manipularemos a integral para obtermos uma integral de função potência da forma 

\displaystyle \int \frac{1}{3\sqrt{u}}\;du=\int \frac{u^{-1/2}}{3}\;du.

Assim, temos uma integral imediata que é dada por

\displaystyle \frac{u^{-1/2+1}}{3(-1/2+1)}+C=\frac{u^{1/2}}{3/2}+C=\frac{2\sqrt{u}}{3}+C.

Por fim, substituindo a variável u obteremos a integral desejada

\displaystyle \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}}dx=\frac{2\sqrt{x^{3}-4}}{3}+C.

Publicado em 10/06/2018, em Integrais.