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Regra da Cadeia passo a passo – Resolvendo Derivadas

Regra da Cadeia passo a passo – Resolvendo Derivadas

Neste post apresentaremos a Regra da Cadeia passo a passo, esta que é uma das várias regras/propriedades das derivadas, que nos permite determinar as derivadas das funções sem o usar a definição. Esta regra de derivação é aplicada em funções compostas, ou também chamadas de funções de funções,  onde uma função f(x) é o domínio da função g(u) sendo u=f(x), ou seja, g[f(x)].

Entretanto para podermos utilizar a temos Regra da Cadeia, as funções f(x) e g(u) devem ser deriváveis. Assim, antes aplicarmos a Regra da Cadeia passo a passo, devemos relembrar o seu Teorema: 

Se f(x) for diferenciável no domínio x\in(a,b) e  g(u) for diferenciável no domínio u=f(x), então a função composta g(f(x)) (também escrita como g\circ f) é diferenciável em x\in(a,b). Além disso, a derivada é dada por 

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[g\big(f(x)\big)\bigg]=\frac{d}{du}\big[g(u)\big]\cdot \frac{d}{dx}\big[f(x)\big],

onde u=f(x).

Exercícios resolvidos 

 Derive as seguintes funções usando a Regra da Cadeia:

1)\displaystyle t(x)=\sqrt{x^{2}-1}

O primeiro passo para derivarmos funções compostas é identificar a  composição da função dada, ou seja, o que representa a função f(x) e o que representa a função g(u), neste caso temos

\displaystyle f(x)=x^{2}-1,

\displaystyle g(u)=\sqrt{u}.

O próximo passo é derivar ambas funções separadamente, uma agora dependendo de x e a outra dependendo de u.  Observe que nas duas podemos utilizar Derivada da Potência, uma vez que temos uma função raiz básica. Assim temos 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\frac{d}{dx}\big[x^{2}-1\big]=\frac{d}{dx}\big[x^{2}\big]-\frac{d}{dx}\big[1\big]=2x,

\displaystyle \frac{d}{du}\big[g(u)\big]=\frac{d}{du}\big[\sqrt{u}\big]=\frac{d}{dx}\big[u^{\frac{1}{2}}\big]=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.

O último passo é substituir na fórmula da Regra da Cadeia, lembrando que u=f(x) assim temos 

\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg[t(x)\bigg]=\frac{d}{dx}\bigg[g\big(f(x)\big)\bigg]=\frac{d}{du}\big[g(u)\big]\cdot \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x=

\displaystyle \frac{x}{\sqrt{u}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.

 

2)\displaystyle h(x)=sen^{2}\left (e^{x+1}\right )

Novamente, o primeiro passo para derivarmos funções compostas é identificar a composição da função dada. Observe que essa função é formada pela composição de 4 funções simples. Assim, devemos aplicar a regra da cadeia três vezes.

\displaystyle g(u)=u^{2} onde \displaystyle u=sen\left (e^{x+1}\right );

\displaystyle f(v)=sen\left (v\right ) onde \displaystyle v=e^{x+1};

\displaystyle t(w)=e^{w} onde \displaystyle w=x+1;

\displaystyle k(x)=x+1.

O segundo passo é derivar todas funções separadamente, aqui utilizamos a derivada da potência, derivada trigonométrica, derivada exponencial e derivada da potência, respectivamente, caso tenha dificuldade em alguma delas clique aqui,

\displaystyle g'(u)=2u;

\displaystyle f'(v)=cos\left (v\right );

\displaystyle t'(w)=e^{w};

\displaystyle k'(x)=1.

O terceiro passo é substituirmos na fórmula da regra da cadeia, como temos três composições, a regra da cadeia resultante ficará da seguinte forma 

\displaystyle h'(x)=g'(u)\cdot f'(v)\cdot t'(w)\cdot k'(x)

onde \displaystyle h'(x)=\frac{d}{dx}\big[h(x)\big]. Assim

\displaystyle h'(x)=2u\cdot cos(v)\cdot e^{w}\cdot 1.

O último passo é substituir as funções u, v e w para obter a derivada desejada 

\displaystyle h'(x)=2sen\left (e^{x+1}\right )cos(e^{x+1})e^{x+1}

Acompanhe também explicações e resoluções de outros exemplos em vídeo, clicando aqui. 

Publicado em 28/04/2018, em aplicações, Derivadas.