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Função do 2 grau – exercícios resolvidos passo a passo

Função do 2 grau – exercícios resolvidos passo a passo

Este post é uma continuação daquele em que apresentamos a definição e características da Função do 2 grau, deste modo, continuaremos com a Função do 2 grau – exercícios resolvidos passo a passo.

Para iniciar, reapresenta-se a definição deste tipo de função:

Uma função \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} é chamada de função 2º grau quando existem números reais a, b e c com a\neq 0, tais que 

\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c

para todo x\in \mathbb{R} .

Exercícios de Função do 2 grau:

1) Construa o esboço da função f(x)=2x^{2}+2x-4, a  partir das características desta função. 

Iniciamos observando as informações fornecidas pelos coeficientes a,b e c:

  • O coeficiente a=2 nos diz que a concavidade da parábola está voltada para cima, pois a>0.   
  • O coeficiente b=2 nos diz que o gráfico ao interceptar o eixo y de forma crescente, pois  b>0.
  • O coeficiente c=-4 nos diz que o ponto onde o gráfico intercepta o eixo y.

Com estas informações já podemos ter uma ideia do gráfico da função:

Função do 2 grau - exercícios resolvidos

Como tem-se uma parábola voltada para cima, o vértice desta uma função do 2 grau é um ponto de mínimo. Este ponto é dado por: 

\displaystyle \left (-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a} \right ) .

Substituindo encontra-se: 

\displaystyle \left (-\frac{2}{2\cdot 2 },-\frac{2^{2}-4\cdot 2 \cdot (-4)}{4 \cdot 2} \right )= \left (-\frac{1}{2},-\frac{9}{2} \right ).

Por fim, encontraremos as Raízes da função desta função segundo grau utilizando conhecida seja a Fórmula de Bhaskara. Lembre-se que as raízes são os pontos onde a função intercepta o eixo x.  

Usando a Fórmula de Bhaskara temos as raízes x_{1} e x_{2} :

\displaystyle x_{1}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2 + \sqrt{2^{2}-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}=1

\displaystyle x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{2^{2}-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}=-2 .

Com mais estas informações podemos construir um esboço mais completo do gráfico da função dada:

Função do 2 grau - exercícios resolvidos 2

1) Construa a função geradora do gráfico presente na figura a seguir.

Observando a figura podemos extrair dela 3 pontos, as raízes (-1,0) e (2,0) e o ponto onde intercepta o eixo y, (0,2). Assim, já temos a informação do coeficiente c=2.

Para os outros coeficientes utilizamos a fórmula geral, \displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c e é possível construir um sistema linear. Com o ponto (-1,0) e c=2 temos: 

\displaystyle 0=a(-1)^{2}+b(-1)+2

e com o ponto (2,0) e c=2

\displaystyle 0=a(2)^{2}+b(2)+2 .

Assim, obtém-se 

\displaystyle a-b=-2
\displaystyle 4a+2b=-2 ,

resolvendo este sistema encontraremos a=-1 e b=1, desta forma, a equação que descreve o gráfico acima é dada por:

\displaystyle f(x)=-x^{2}+x+2 .

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Publicado em 13/05/2017, em Funções, gráficos.