Exercício resolvido de taxas relacionadas – aplicação de derivadas

Exercício resolvido de taxas relacionadas – aplicação de derivadas

Neste post apresenta-se um Exercício resolvido de taxas relacionadas, que é uma das aplicações das derivadas. Nos exercícios de taxas relacionadas sempre temos pelo menos duas variáveis dependentes que depende de uma variável independente, assim temos pelo menos duas taxas que estão relacionadas pela mesma dependência.  

Exercício:

O trigo está saindo através de uma calha de escoamento a uma taxa de 10 pés³/min e cai em uma pilha cônica, cujo raio da base é sempre a metade da altura. Com que rapidez estará aumentando a circunferência da base quando a altura da pilha for de 8 pés? 

Para resolver este exercício iniciamos fazendo um esboço que representa esta situação.

Sabemos que o volume de um objeto cônico é dado pela fórmula: 

,

onde  V é o volume do cone, h é a altura e r é o raio. Como o problema nos diz que o raio da base é a metade da altura temos:  

.

Assim, 

.

E a equação da circunferência é dada por: 

,

onde C é a circunferência.

Derivando ambos equações em função do tempo t obtém-se:

 e 

.

Substituindo na primeira equação pelos dados fornecidos pelo problema tem-se:

,

  .

Substituindo este último resultado na segunda equação que derivamos (circunferência), obteremos 

.

Deste modo chega-se a resposta do problema apresentado, a circunferência aumenta a uma rapidez de 5/8 pés/mim quando a altura da pilha for de 8 pés/mim. 

Veja outros exemplos de taxas relacionadas clicando aqui e aqui.