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Solução de um problema usando Máximos e Mínimos

Solução de um problema usando Máximos e Mínimos

Neste post resolve-se um exercício em que utiliza-se o conhecimento de Máximos e Mínimos de uma função.

Exercício:

Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 30cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando seus cantos em quadrados iguais e dobrado convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

Iniciamos a resolução fazendo um esboço do problema:

Máximos e Mínimos

onde y é o lado dos quadrados a serem cortados e x a medida resultante após o corte.

Assim, tem-se:

30=x+2y\Rightarrow x=30-2y .

Após basta cortar os cantos e dobrá-los para obter uma caixa da seguinte forma:

Máximos e Mínimos 1

onde o volume é calculado como:

V=x^{2}y .

Substituindo tem-se:

V=(30-2y)^{2}y=900y-120y^{2}+4y^{3} .

Sabe-se que os máximos e mínimos são encontrados nos pontos críticos, ou seja, onde o coeficiente angular da reta tangente é igual a zero.

Assim, para obter os pontos onde este coeficiente seja igual a zero, deve-se derivar a equação é igualar a zero, \frac{dV}{dy}=0  . Em seguida, encontram-se os valores destes pontos:  

\frac{dV}{dy}=900-240y+12y^{2}

0=900-240y+12y^{2} .

Aplicando a Fórmula de Bhaskara obtém-se:

y=\frac{240\pm\sqrt{240^{2}-4\cdot 12\cdot 900} }{2\cdot 12} 

y=\frac{240\pm120}{24} ,

o que nos dá y_{1}=15cm e y_{2}=5cm .

Porém, o valor de y_{1}=15cm não pode ser admitido, visto que teríamos um valor de x=0 cm .

Resposta: devem ser cortados quadrados de lados de 5cm .

Publicado em 16/03/2017, em aplicações, Derivadas.