Análise da concavidade de uma função

Análise da concavidade de uma função

 

Neste post apresenta-se como realizar a Análise da concavidade de uma função, ou seja, determinar em que parte do domínio a função possui a concavidade voltada para cima e/ou para baixo.

Para isto a função deve ser duas vezes derivável em um intervalo aberto (a,b) e deve-se verificar as seguintes situações:

1) Se f{''}(x)>0 em (a,b), então a concavidade está voltada para cima;

2) Se f{''}(x)<0 em (a,b), então a concavidade está voltada para baixo;

3) Se f{''}(x)=0 em (a,b), então este é um ponto de inflexão. 

Tenha atenção, pois nem sempre f{''}(x)=0 é um ponto de inflexão. Veja o exemplo da função f(x)=x^{4} .

Exemplos:
Determine os intervalos abertos nos quais f(x) têm a concavidade para cima e para baixo: 

a) f(x)=2x^{3}-6x^{2}+1

Primeiro passo é derivar duas vezes

f(x)=2x^{3}-6x^{2}+1 ;
f'(x)=6x^{2}-12x ;
f''(x)=12x-12 .

Em seguida, deve-se analisar pode f'' é maior do que zero e menor do que zero.

  • f''>0

12x-12>0
12x>12
x>1 .

Então, f(x) é concava para cima em (1,+\infty) .

  • f''<0

12x-12<0
12x<12
x<1 . 

Então, f(x) é concava para baixo em (-\infty,1) .

b) f(x)=sen(x)

Iniciamos derivando duas vezes

f(x)=sen(x) ;
f'(x)=cos(x) ;
f''(x)=-sen(x) .

Em seguida, deve-se analisar o sinal da segunda derivada:

  • f''>0

-sen(x)>0
sen(x)<0 .

Então, f(x) é concava para cima em \big((2k+1)\pi,(2k+2)\pi\big) para k\in\mathbb{Z} .

  • f''<0

-sen(x)<0
sen(x)>0 . 

Então, f(x) é concava para baixo em \big(2k\pi,(2k+1)\pi\big) para k\in\mathbb{Z} .

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