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Demonstração da derivada da potência

Demonstração da derivada da potência

 

Neste post apresenta-se a Demonstração da derivada da potência, que consiste nas funções do tipo f(x)=x^{n} onde n é um número natural.

Fazendo o uso da definição formal de derivadas dada por:

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} ,

obtém-se a seguinte expressão: 

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} .

Expandindo o termo \displaystyle (x+h)^{n} através do binômio de Newton tem-se uma soma de termos da forma:

\displaystyle \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{\binom{n}{0}x^{n} h^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}h^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+\binom{n}{n}x^{0}h^{n}-x^{n}}{h} ,

onde \displaystyle \binom{n}{p} é uma combinação simples, dada por \displaystyle \displaystyle \binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} .

Simplificando alguns termos deste limite fica-se com:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}-x^{n}}{h} ,

o primeiro e último termo se cancelam, assim:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}}{h} . 

Em seguida pode-se simplificar os “h”, visto que todos os termos do numerador e o denominador os contém , então:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\Bigg(\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}\Bigg) .

Aplicando o limite tem-se:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=\binom{n}{1}x^{n-1} .

Sabendo que  \displaystyle \binom{n}{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n fica-se com:

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=nx^{n-1} .

Publicado em 03/11/2016, em Derivadas.