Derivadas >

Demonstração da propriedade da derivada da divisão

Demonstração da propriedade da derivada da divisão

 

Neste post apresenta-se a Demonstração da propriedade da derivada da divisão. Em outros materiais esta propriedade é chamada de derivada do quociente.

Se as funções f(x) e g(x) possuírem derivadas no intervalo aberto (a,b) sendo g(x)\neq 0, então a função \displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} possui derivada em (a,b) e ela é dada por:

\displaystyle \frac{d}{dx}\Big[h(x)\Big]=\frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-f(x)\frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)^{2}} .

Sabendo que \displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} , então tem-se \displaystyle f(x)=h(x)\cdot g(x) e utilizando a propriedade da derivada do produto fica-se com: 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]=g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[h(x)\big]+h(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big] .

Reorganizando os termos obtém-se:

\displaystyle g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[h(x)\big]=\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-h(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big] .

Ao substituir \displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} tem-se:

\displaystyle g(x)\cdot\frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-\frac{f(x)}{g(x)}\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]=

\displaystyle g(x)\cdot\frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-\frac{f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)} .

Dividindo toda expressão por g(x) e manipulando-a chega-se a propriedade desejada:

\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]}{g(x)}-\frac{f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)^{2}}=

\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigg[\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg]=\frac{g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]-f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big]}{g(x)^{2}} . 

Acompanhe a resolução de um exemplo em que utiliza esta propriedade, clicando aqui.

Publicado em 01/11/2016, em Derivadas.