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Demonstração da derivada do produto

Demonstração da derivada do produto

 

Neste post apresenta-se a Demonstração da derivada do produto de duas funções, mas poderíamos estender para a multiplicação de mais funções.

Se as funções f(x) e g(x) possuírem derivadas no intervalo aberto (a,b) então a função f(x)\cdot g(x) possui derivada em (a,b) e 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x)\cdot g(x)\big]=g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]+f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big] .

Sabendo que a definição formal de derivadas é dada por:

{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .

Pode-se aplica-la na nova função que é formada pelo produto das funções f(x)\cdot g(x) onde obtém-se: 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x)\cdot g(x)\big]=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h} .

Ao aplicar um truque matemático que consiste em somar e subtrair o mesmo valor, sem alterar o valor da expressão, tem-se: 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)+g(x+h)\cdot f(x)-g(x+h)\cdot f(x)}{h} .

Note que os dois últimos termos possuem mesmo valor porém com sinais contrários, logo sua soma é igual a zero.

Preste muita atenção neste próximo passo onde coloca-se o primeiro e o último termo em evidência e também os termos do meio (segundo e terceiro):  

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)\Big(f(x+h)-f(x)\Big) +f(x)\Big(g(x+h)-g(x)\Big)}{h}.

No próximo passo utilizam-se duas propriedades dos limites que são a propriedade da soma dos limites:

\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)\Big(f(x+h)-f(x)\Big)}{h}+\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x)\Big(g(x+h)-g(x)\Big)}{h} .

Organizando os termos de uma forma que facilite o próximo passo, tem-se: 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\Bigg(g(x+h)\cdot \frac{\Big(f(x+h)-f(x)\Big)}{h}\Bigg)+\lim\limits_{h\rightarrow 0}\Bigg( f(x)\cdot \frac{\Big(g(x+h)-g(x)\Big)}{h}\Bigg) . 

Em seguida aplica-se a propriedade da multiplicação dos limites:

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}g(x+h)\cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\rightarrow 0}f(x)\cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} .

Para finalizar falta apenas aplicar o primeiro e terceiro limite, onde no primeiro ao aplicar o limite chega-se em g(x) e o terceiro como é uma função que não depende de h, tem-se f(x).  Então:

\displaystyle g(x)\cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}= 

\displaystyle =g(x)\cdot\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]+f(x)\cdot \frac{d}{dx}\big[g(x)\big] .

Acompanhe a resolução de um exemplo em que utiliza esta propriedade, clicando aqui.

Publicado em 30/10/2016, em Derivadas.