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Propriedades dos Limites

Propriedades dos Limites

Neste post apresentam-se as principais Propriedades dos Limites, entretanto sem fazer sua demostração. Além do mais, estas propriedades são muito úteis na resolução de problemas envolvendo cálculo de limites. 

1) Propriedade da unicidade do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L  e  \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = M , então L = M .

2) Propriedade do Limite de uma função constante:

Se f(x) = K para todo x real, então para qualquer a real,  então:

\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a} k = k .

3) Propriedade da soma ou da subtração dos Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L e \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = M , então:

\lim\limits_{x\rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) \pm \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) =L\pm M .

4) Propriedade da multiplicação por escalar do Limite:

Para qualquer constante K e \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L : 

\lim\limits_{x\rightarrow a} (k \times f(x)) = k \times \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = k \times L .

Obs: O sinal, \times simboliza simplesmente uma multiplicação entre dois termos e não o operador rotacional.

5) Propriedade da multiplicação de Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L  e  \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = M , então: 

\lim\limits_{x\rightarrow a} (f(x) \times g(x)) = \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) \times \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = L \times M .

6) Propriedade da divisão de Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L ,  \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = M e M\neq0, então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)} = \frac{L}{M} . 

 7) Propriedade da potência de Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L, então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} (f(x))^{n} = (\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x))^{n} = L^{n} . 

8) Propriedade do exponencial do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L  e  b \in \mathbb{R},  então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} b^{f(x)} = b^{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)} = b^{L} .

9) Propriedade do logaritmo do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L , L>0 , b \in \mathbb{R} ,  b>0 ,  b\neq1  e  n\in\mathbb{N},   então: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} (log_{b}f(x)) = log_{b}(\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)) = log_{b}L .

10) Propriedade da raiz do Limite:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L , n\in\mathbb{N}  e  L>0  quando n  for par,  então:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)} = \sqrt[n]{L} .

11) Propriedade do confronto ( sanduíche ) dos Limites:

Se \lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=L  tal que  h(x)\leq f(x)\leq g(x), então: 

\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L .

12) Propriedade dos polinômios:

Esta propriedade é uma combinação das propriedades 3 e 4. Então, seja p(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0} um polinômio qualquer, onde os b_{n} são constantes arbitrárias. Logo, tem-se: 

\lim\limits_{x\rightarrow a} p(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a}(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}) =

= \lim\limits_{x\rightarrow a}b_{n}x^{n}+\lim\limits_{x\rightarrow a}b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\lim\limits_{x\rightarrow a}b_{1}x+\lim\limits_{x\rightarrow a}b_{0} =

 = b_{n} \lim\limits_{x\rightarrow a}x^{n}+b_{n-1} \lim\limits_{x\rightarrow a}x^{n-1}+\cdots+b_{1} \lim\limits_{x\rightarrow a}x+b_{0} \lim\limits_{x\rightarrow a} =

= p(a) .

Portanto,                               \lim\limits_{x\rightarrow a}p(x) = p(a) . 

13) Propriedade da divisão de polinômios:

Nos limites da forma \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)} em que p(x) e q(x)  são polinômios em x , prevalecem os termos de maior grau de ambos os polinômios quando for calcular o limite, ou seja, se

p(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}
q(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0} ,

então  

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{a_{m}x^{m}}{b_{n}x^{n}} .

Portanto, espero que tenham gostado desse post sobre as Propriedades dos Limites. Continuem nos acompanhando. Divulguem nosso site. Compartilhem esse post. Além disso, se ficou mais alguma dúvida coloque nos comentários abaixo. Use seu login do Facebook. 

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Publicado em 06/09/2016, em Limites.