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Gráfico de Funções: Combinando Funções

Gráfico de Funções: Combinando Funções

O Gráfico de Funções: Combinando Funções gera uma infinidade de novas funções a partir das Funções Básicas. Por isso, a grande maioria das funções são combinações de pelo menos outras duas. Um exemplo muito comum são as funções polinomiais, na qual são combinações de funções potência.

Sejam as funções f(x) e g(x). Então, pode-se construir novas funções utilizando os seguintes operadores:

1) Soma: f (x) + g (x) ;

2) Subtração:   f (x) - g (x) ou g (x) -f (x) ;

3) Multiplicação:  f(x) \cdot g(x) ;

4) Divisão:     f(x) \div g(x) ou g(x) \div f(x) ;

5) Composição:    f(g(x))=(f\circ g)(x)  ou   g(f(x)) = (g\circ f)(x) ;

Obs: Como as operações da soma e da multiplicação independem da posição, por isso é apresentado apenas uma delas.  

Construindo alguns exemplos

Considerando as funções f(x)=x^{2} e \displaystyle g(x)=\frac{1}{x}, encontre:

1) \displaystyle \mathbf{p(x)=f(x)+g(x)}=x^{2}+\frac{1}{x}=\frac{x^{3}+1}{x} ;

2) \displaystyle \mathbf{p(x)=f(x)-g(x)}=x^{2}-\frac{1}{x}=\frac{x^{3}-1}{x}  ;

3) \displaystyle \mathbf{p(x)=g(x)-f(x)} = \frac{1}{x} -x^{2} =\frac{1-x^{3}}{x} ;

4) \displaystyle \mathbf{p(x)= f (x) \cdot g (x)} = x^{2} \cdot \frac {1} {x} = x  ;

5) \displaystyle \mathbf{p(x)= f(x) \div g(x)} = x^{2} \div \frac{1}{x} = x^{2} \cdot \frac{x}{1} = x^{3}  ;

6) \displaystyle \mathbf{p(x)= g(x) \div f(x)} = \frac{1}{x} \div x^{2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x^{3}}  ;

7) \displaystyle \mathbf{p(x)= (f \circ g) (x)} = \Big(\frac{1}{x} \Big)^{2} = \frac{1}{x^{2}}  ;

8) \displaystyle \mathbf{p(x)= (g \circ f) (x)} = \frac{1}{(x^{2})} = \frac{1}{x^{2}}  ;

 Além disso, ao construir uma nova função a partir da combinação de outras, a nova recebe uma combinação das características da função original. Ou seja, seu domínio, imagem e o comportamento gráfico serão uma combinação de outras funções . Por exemplo, as funções apresentadas no item 1.

Domínio das funções:

f(x) é D=\mathbb{R} ;
\displaystyle g(x) é D=\mathbb{R}-\{0\} ;
\displaystyle p(x) é D=\mathbb{R}-\{0\} .

Imagem das funções:

f(x)  é  I=[0,+\infty) ;
\displaystyle g(x)  é  I=\mathbb{R}-\{0\} ;
\displaystyle p(x)  é  I=\mathbb{R} .

Gráfico de Funções: Combinando Funções - Funções Novas a partir das básicas

Assim, ao observar o gráfico da nova função, percebe-se facilmente as características das funções originantes. Logo, nos extremos, o comportamento da f(x) predomina e no entorno de zero predomina a função g(x), uma vez que  a f(x) tende a zero. 

Além disso, caso queira ver outra combinação de um Gráfico de Funções: Combinando Funções, clique aqui.

Portanto, esperamos que tenha ficado claro esse post sobre Gráfico de Funções: Combinando Funções.

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Publicado em 12/07/2016, em Funções.