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Problemas de Máximos e Mínimos – Exercícios resolvidos

Problemas de Máximos e Mínimos – Exercícios resolvidos

Dentro das aplicações da derivada nos deparamos com os Problemas de Máximos e Mínimos, que consiste em encontrar o maior e o menor valor da função em um determinado intervalo. Há um tempo atrás já publicamos um post explicando um pouco sobre os pontos de máximo e de mínimo local. Caso queira rever clique aqui.

Este post de hoje dedicaremos nossa atenção em resolver um problema prático que envolvam máximos e mínimos. Para isto utilizam-se 6 passos:

  • Desenhar um esboço do problema;
  • Retirar os dados fornecidos pelo exercício;
  • Achar as dependências entre as variáveis;
  • Encontrar a equação que relacione as variáveis a ser maximizada ou minimizada;
  • Derivar e igualar a zero para obter os pontos de máximo ou mínimo.
  • Analisar as condições físicas do problema.

Obs: Este último passo se aplica quando encontramos mais de um ponto de máximo ou mínimo, assim necessitamos avaliar qual dos pontos possui sentido para o problema dado.

Problemas de Máximos e Mínimos

Uma empresa de embalagem recebeu um pedido de caixas de papelão, onde o solicitante exigiu apenas que as caixas tivesse 15 litros de capacidade e uma altura de 20 centímetros. Quais são as dimensões das caixas para obter o menor custo com o papelão? (Obs: as caixas devem ser no formato de paralelepípedos reto.)

Iniciamos fazendo um esboço da caixa de papelão.

Problemas de Máximos e Mínimos - esboço da caixa

Extraindo os dados do problema: 

  • Altura da caixa: h=20 cm
  • Volume da caixa: V=15 l

Lembre-se que devemos trabalhar sempre com as mesmas unidades de medida, assim devemos transformar litros em centímetros cúbicos, na qual

1l=1000 cm^{3}, assim V=15000 cm^{3} .

Em seguida, devemos encontrar as dependências entre as variáveis do problema para obter:

Volume: V=a\cdot b\cdot h .

Área: A=2(a\cdot b+a\cdot h+b\cdot h) .

Observe que multiplicamos por 2, pois os lados de um paralelepípedo reto são dois-a-dois iguais.

Agora devemos encontrar a equação que relacione as variáveis a ser minimizada, pois queremos obter o menor consumo de papelão.

Pela equação do volume encontramos

\displaystyle V=a\cdot b\cdot h 

\displaystyle 15000=a\cdot b\cdot 20\Rightarrow a\cdot b=750\Rightarrow a=\frac{750}{b}

e substituindo na equação da área as informações obtemos

A=2(a\cdot b+a\cdot h+b\cdot h) 

\displaystyle A=2(750+\frac{750}{b}\cdot 20+b\cdot 20) 

\displaystyle A=1500+\frac{30000}{b}+40b .

Derivando em relação a variável b fica-se com

\displaystyle \frac{dA}{db}=-\frac{30000}{b^{2}}+40 .

Lembre-se que os pontos de máximos e mínimos são aqueles nos quais o valor da derivada é nula, ou seja, \displaystyle \frac{dA}{db}=0. Assim, substituindo e manipulando a expressão obtém-se:

\displaystyle 0=-\frac{30000}{b^{2}}+40 

\displaystyle 40b^{2}=30000 

\displaystyle b^{2}=750\Rightarrow b=\pm \sqrt{750}\approx \pm 27,386 .

Entretanto, o valor que possui sentido físico do problema são medidas positivas, assim b\approx 27,386 cm. Por fim, devemos encontrar a outra dimensão

\displaystyle a=\frac{750}{b}\Rightarrow a \approx 27,386 cm .

Portanto, a caixa de papelão deve ter um fundo quadrado de lado aproximadamente 27,386 cm para obter o menor consumo de papelão na sua fabricação.

Caso desejar acompanhe a resolução de outro exemplo em vídeo clicando aqui. 

Publicado em 19/08/2017, em aplicações, Derivadas.