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Integrais definidas resolvidas: determinando a área através das integrais

Integrais definidas resolvidas: determinando a área através das integrais

Dedicaremos este post para as Integrais definidas resolvidas, ou seja, para determinar a área sob determinadas curvas através das integrais. Para tal, utilizaremos as Propriedades das Integrais, que publicamos recentemente e a técnica da Integração por Substituição.  Caso fique alguma dúvida deixe seu comentário no final deste post. 

Exercício: Integrais definidas resolvidas

 Calcule a seguinte integral:\displaystyle \int^{2}_{0} x\:cos(x^{2})dx

O primeiro passo para resolvermos uma integral definida é analisar o comportamento da função que está no integrando, pois se a função ora é positiva ora negativa, devemos separar em intervalos com mesmo sinal usando a 6ª propriedade das Integrais.

Para resolver este exercício, vamos supor que estamos em uma prova e que não temos o auxilio de um programa para gerar o gráfico da função dada. Assim, precisamos determinar o domínio onde ela é positiva e onde ela é negativa.

Primeiramente, perceba que é uma função contínua, pois é composta por funções polinomiais e a função cosseno. O próximo passo é localizar os zeros da função, pois nestes pontos a função pode trocar de sinal. Assim, temos que resolver 

\displaystyle x\:cos(x^{2})=0

para o domínio \displaystyle 0\leq x\leq 2. Em x=0 é um dos pontos, pois \displaystyle 0\cdot cos(0)=0\cdot 1=0. Os demais pontos serão onde \displaystyle cos(x^{2})=0. Sabemos que a função cosseno é igual a zero em \displaystyle \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\cdots , logo:

\displaystyle x^{2}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{2}};

\displaystyle x^{2}=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{3\pi }{2}};

\displaystyle x^{2}=\frac{5\pi }{2}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{5\pi }{2}};

\displaystyle \cdots .

Note que destes pontos apenas \displaystyle x=\sqrt{\frac{\pi }{2}} fica dentro do intervalo de integração.

O próximo passo é determinar o sinal da função em cada um destes intervalos

  • \displaystyle 0<x<\sqrt{\frac{\pi }{2}}
  • \displaystyle \sqrt{\frac{\pi }{2}}<x<2

Em \displaystyle 0<x<\sqrt{\frac{\pi }{2}} é positivo, pois \displaystyle x>0 e \displaystyle cos(x^{2})>0. Já em \displaystyle \sqrt{\frac{\pi }{2}}<x<2 é negativo, pois \displaystyle x>0 e \displaystyle cos(x^{2})<0. Assim, temos que resolver a seguinte integral: 

\displaystyle \int^{2}_{0} x\:cos(x^{2})dx=\int^{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}_{0} x\:cos(x^{2})dx-\int^{2}_{\sqrt{\frac{\pi }{2}}} x\:cos(x^{2})dx.

Observe que a integral onde a função é negativo temos que multiplicar por -1, pois ao integrar obteremos um valor de área negativo.

Calculo da integral de x cos(x^2)

Perceba que não temos uma integral imediata, assim utilizaremos a técnica da Integração por substituição, visto que a derivada de \displaystyle x^{2} é semelhante a função x. Assim, tomando \displaystyle u=x^{2} e derivando teremos \displaystyle du=2xdx. Ao substituir na integral dada tem-se:

\displaystyle \int x\:cos(x^{2})dx=\int cos(u)\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int cos(u)du.

Perceba que na última igualdade utilizamos a  1ª propriedade das Integrais. Agora aplicando a integral do cosseno temos 

\displaystyle \frac{1}{2}\int cos(u)du=\frac{1}{2}sen(u)+C

e substituindo \displaystyle u=x^{2} para voltar na variável x

\displaystyle \frac{1}{2}sen(u)+C=\frac{1}{2}sen(x^{2})+C.

Aplicando na integral definida, lembrando que podemos omitir a constante C, teremos 

\displaystyle \int^{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}_{0} x\:cos(x^{2})dx-\int^{2}_{\sqrt{\frac{\pi }{2}}} x\:cos(x^{2})dx=\bigg[\frac{1}{2}sen(x^{2})\bigg]\bigg|^{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}_{0}-\bigg[\frac{1}{2}sen(x^{2})\bigg]\bigg|_{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}^{2}=

\displaystyle \frac{1}{2}sen\Bigg(\bigg(\sqrt{\pi/2}\bigg)^{2}\Bigg)-\frac{1}{2}sen(0)-\frac{1}{2}sen(2^{2})+\frac{1}{2}sen\Bigg(\bigg(\sqrt{\pi/2}\bigg)^{2}\Bigg)=

\displaystyle \frac{1}{2}-0-\frac{1}{2}sen(4)+\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}sen(4)\approx 1-(-0,38)=1,38.

Logo, 

\displaystyle \int^{2}_{0} x\:cos(x^{2})dx\approx 1,38.

Apenas com a intenção de exemplificar, no gráfico a seguir podemos perceber o comportamento da função, como já tínhamos calculado anteriormente. 

Integrais definidas resolvidas

Publicado em 30/06/2018, em aplicações, Integrais.