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Indeterminação no cálculo dos Limites

Indeterminação no cálculo dos Limites

A Indeterminação no cálculo dos Limites ocorre quando calcula-se o limite de uma função e nos deparamos com os seguintes símbolos:

\displaystyle \frac{0}{0} 0^{0} 1^{\infty} \infty^{0}
\displaystyle \frac{\pm \infty}{\pm \infty} (+ \infty )-(+\infty) (-\infty)+(+\infty) 0\cdot(\pm\infty)

Veja um exemplo onde isto ocorre:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{0}{0} .

Logo, nestes casos tem-se que repensar o procedimento de cálculo fazendo alguma manipulação algébrica na expressão para superar esta indeterminação.  

Assim, apresentam-se neste post três formas de contornar essa indeterminação:

Exemplo:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\frac{0}{0} .

Aplicando Briot-Rufini no numerador obtém-se: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2} .

Simplificando o termo em comum tem-se: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^{2}+2x+4)=2^{2}+2\cdot 2+4=12 .

  • Racionalizando 

Este método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma raiz, por isso a estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.

Exemplo:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{0}{0} .

Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo termo que contem a raiz, porém com sinal contrário: 

\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)}=\sqrt{x}+1 .

Logo, tem-se:

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 1}\sqrt{x}+1=2 .

  • Fazendo mudança de variável

Este método considera-se como sendo um truque algébrico em que se utiliza para facilitar a solução da indeterminação. Observe através de um exemplo: 

\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\frac{+\infty}{+\infty} .

Note que, para contornar isso faz-se uma mudança de variável do tipo y=\sqrt[3]{x+1} . Assim, elevando ao cubo nos dois lados tem-se que: y^{3}=x+1, logo x=y^{3}-1 .

Além disso, deve-se também transformar o ponto ao qual se quer saber o limite. A partir da equação y=\sqrt[3]{x+1} podemos dizer que, quando x\rightarrow +\infty também y\rightarrow +\infty .

Assim, substituindo tem-se: 

\displaystyle \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\frac{y-1}{y^{3}-1}=\frac{+\infty}{+\infty} .

Além do mais, notem que aqui ainda temos uma indeterminação, por isso reescrevendo o denominador utilizando Briot-Rufini fica-se com:  

\displaystyle \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\frac{(y-1)}{(y-1)(y^{2}+y+1)} .

Por conseguinte, simplificando e resolvendo tem-se:

\displaystyle \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\frac{1}{y^{2}+y+1}=\frac{1}{+\infty}=0 .

Outra estratégia seria dividir o numerador e o denominador por y, na qual fica-se com: 

\displaystyle \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\frac{1-\frac{1}{y}}{y^{2}-\frac{1}{y}}=\frac{1}{+\infty}=0 .

Cabe ressaltar que, outra forma de superar as indeterminações do tipo \displaystyle \frac{\infty}{\infty} ou \displaystyle \frac{0}{0} é utilizando a Regra de l’Hôpital. No entanto, necessita-se ter o conhecimento de derivadas. Por isso, apresentaremos essa regra após postar o conteúdo sobre derivadas.

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Publicado em 14/09/2016, em Limites.