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Funções exponenciais e suas características

Funções exponenciais e suas características

As Funções exponenciais são muito utilizadas nos estudos que envolvem o crescimento de certas populações. Um exemplo é o crescimento da população das bactérias que, através da divisão celular, faz o seu número de células iniciais crescer de forma exponencial.

Este tipo de função é encontrada sobretudo em fenômenos biológicos, mas as funções exponenciais podem ser encontradas em outras áreas como: 

  • Na economia: A maioria dos investimentos são calculados a partir de juros compostos, na qual a taxa de juros é descrita na forma exponencial. 

  • Na ciência da informação: Ao postar uma informação, principalmente em redes sociais, ela se difunde de forma exponencial, visto que seus usuários recebem e compartilham para outros usuários instantaneamente.

  • Na física nuclear: A fissão nuclear do urânio 235 é expressa de forma exponencial, visto que a cada átomo fissionado são liberados em média 3 novos nêutrons, que por sua vez, irão provocar a fissão de outros átomos.  

Definição da função exponencial:

Uma função \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{*} é chamada de função exponencial quando existem números reais a(com a>0) e b tais que 

\displaystyle f(x)=a^{bx}

para todo x\in \mathbb{R} .

Exemplos:

1) f(x)=e^{2x} ;

2) g(t)=10000^{-t};

3) \displaystyle h(n)=\frac{1}{3}^{n}.

Características das Funções exponenciais:

A combinação dos coeficientes a e b determina se a função será crescente ou decrescente.

  • Crescente

Se 0<a<1 e b<0 ou se 1<a e 0<b.

  • Decrescente

Se 0<a<1 e 0<b ou se 1<a e b<0.

Observe este comportamento nos gráficos a seguir:

Funções exponenciais

Observação: Caso a função exponencial for multiplicada por uma constante c da forma:

\displaystyle f(x)=c\cdot a^{bx}

ela produzirá uma alongamento na função se c>1 ou se 0<c<1 a função será comprimida.

Entretanto, se c for um valor negativo ocorrerá um espelhamento em relação ao eixo x, respeitando as mesmas regras dos valores positivos, ou seja, a função será alongada se c<-1 e comprimida se -1<c<0. 

Ademais, cabe salientar que o valor de c correspondo o ponto onde a função intercepta o eixo y. Observe no exemplo a baixo:

Funções exponenciais 2

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Publicado em 20/05/2017, em Funções, gráficos.