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Exemplo 2 – Domínio e Imagem de uma Função Racional

Domínio e Imagem de uma Função Racional

Vamos calcular o Domínio e Imagem de uma Função Racional, sabendo que \{x,f(x)\} \in \mathbb{R} e

\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-3)} .

Para resolver o domínio de uma função que contém a variável independente x no denominador de uma fração deve-se perguntar:

Para quais valores x a fração está definida?

Ou, novamente, pode-se fazer a pergunta inversa:

Existe algum valor de x em que torna a fração indefinida?

Para encontrar o Domínio de uma Função Racional, a forma mais fácil é analisar a segunda pergunta, pois sabe-se que não existe divisão por 0. Então, basta observar o denominador e encontrar os valores de x que o torna 0.

Neste nosso exemplo, tem-se dois casos:

1º) (x-1)=0 ;

2º) (x-3)=0 .

Facilmente pode-se resolver essas equações e obter x=1 e x=3. Assim, o domínio pode ser escrito da seguinte forma:D=(-\infty,1)\cup (1,3) \cup (3,+\infty), ou ainda:

D=\mathbb{R}-\{1,3\} .

Além disso, o passo seguinte é calcular a imagem nessa função. A forma mais simples de calcularmos a imagem de uma função é através da interpretação gráfica, na qual deve-se construir o esboço do gráfico da função ou através de um software, como o GeoGebra. Em seguida, observa-se para quais valores de f(x)=y tem-se valores de  x correspondente.

Para construir o esboço do gráfico deve-se observar as seguintes informações:

1) Assíntotas verticais em x=1 e x=3 (retas verticais que não interceptam o gráfico da função);

2) Comportamento do gráfico nos extremos (-\infty e +\infty);

3) Comportamento do gráfico quando se aproxima das assíntotas verticais;

4) Pontos de máximo ou de mínimo.

Portanto, fazendo estas análises obtém-se o seguinte esboço:

Gráfico de uma função racional para análise do Domínio e Imagem de uma função racional

Assim, é possível perceber que a imagem da função dada é:

I=(-\infty,-1] \cup (0,+\infty) .

Caso desejar, confira a resolução do Domínio e Imagem de uma Função Racional em vídeo: Clique aqui.

Portanto, esperamos que tenha ficado claro esse post sobre Domínio e Imagem de uma Função Racional.

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Publicado em 21/06/2016, em Funções. Marcado com as tags domínio e imagem, função racional, geogebra.