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Demonstração da derivada do produto de uma constante por uma função

Demonstração da derivada do produto de uma constante por uma função

 

Neste post apresenta-se a definição e a demonstração da derivada do produto de uma constante por uma função.

Se a função y=f(x) possuir derivada no intervalo aberto (a,b) e se c for uma constante real, então a função y=c f(x) tem derivada em (a,b) e 

\displaystyle \frac{d}{dx}[cf(x)]=c\: \frac{d}{dx}[f(x)] .

A exemplo da propriedade “a” utiliza-se a definição formal para demostrar esta propriedade, 

{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

assim, tem-se:

\displaystyle \frac{d}{dx}[cf(x)]=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \:c\;\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .

Pelas propriedades dos limites tem-se:

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\:c\;\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c\:\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .

Logo, 

\displaystyle c\:\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c\frac{d}{dx}[f(x)] . 

Publicado em 28/10/2016, em Derivadas.