Limites >

Demonstração das propriedades de limites – Parte I

Demonstração das propriedades de limites

Na resolução dos exercícios de limites, frequentemente, utilizamos as suas diversas propriedades, pois elas facilitam e agilizam a obtenção do resultado. Entretanto, antes de utilizá-las deveríamos saber demonstrá-las. Assim, publicaremos uma série de post em que apresentaremos as Demonstração das propriedades de limites, iniciaremos com a propriedade do limite de uma função constante e o limite da soma ou da subtração.

Para iniciar devemos lembrar da definição formal de limite, em que \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L significa que para todo \epsilon>0 existe um \delta>0, tal que

0<|x-a|<\delta implica em \displaystyle |f(x)-L|<\epsilon .

1) Demonstração do Limite de uma função constante:

Seja a função \displaystyle f(x)=K em que possui o limite \displaystyle K, quando  \displaystyle x\rightarrow a, ou seja,

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}K=K . 

Demonstração

Por hipótese temos que \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = K significa que para todo \epsilon>0 existe um \delta>0, tal que

0<|x-a|<\delta implica em \displaystyle |f(x)-K|=|K-K|=0<\epsilon .

Portanto, para qualquer \epsilon>0 podemos escolher qualquer \delta>0 que o limite será satisfeito.    

 

2) Demonstração do limite da soma ou subtração

Sejam as funções \displaystyle f(x) e \displaystyle g(x) em que possuem limite \displaystyle L_{1} e \displaystyle L_{2}, respetivamente, quando  \displaystyle x\rightarrow a, ou seja,

 \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L_{1} e \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=L_{2} .

Então a função \displaystyle f(x)+g(x) possui limite quando \displaystyle x\rightarrow a e é dado da forma:

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( f(x)+g(x)\right)=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=L_{1}+L_{2} .

Demonstração

Por hipótese temos que \lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = L_{1} significa que para todo \epsilon>0 existe um \delta_{1}>0, tal que

0<|x-a|<\delta_{1} implica em \displaystyle |f(x)-L_{1}|<\frac{\epsilon}{2}

e \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = L_{2} significa que para todo \epsilon>0 existe um \delta_{2}>0, tal que

0<|x-a|<\delta_{2} implica em \displaystyle |g(x)-L_{2}|<\frac{\epsilon}{2} .

Tomando o menor valor de delta, \delta=min\{\delta_{1},\delta_{2}\} temos que 

\displaystyle \left| \left( f(x)+g(x)\right)-\left( L_{1}+L_{2}\right )\right|=\left| f(x)-L_{1}+g(x)-L_{2}\right| ,

usando a desigualdade triangular tem-se:

\displaystyle \left| f(x)-L_{1}+g(x)-L_{2}\right|\leq \left| f(x)-L_{1}\right|+\left|g(x)-L_{2}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .

Obs: A demonstração da propriedade da subtração é de forma análoga, apenas fazendo a troca de sinais.

Continue seus estudos de limites com outras demonstrações das propriedades dos Limites clicando aqui. 

Publicado em 28/07/2017, em Limites.