Demonstração das propriedades de limites – Parte I

Demonstração das propriedades de limites

Na resolução dos exercícios de limites, frequentemente, utilizamos as suas diversas propriedades, pois elas facilitam e agilizam a obtenção do resultado. Entretanto, antes de utilizá-las deveríamos saber demonstrá-las. Assim, publicaremos uma série de post em que apresentaremos as Demonstração das propriedades de limites, iniciaremos com a propriedade do limite de uma função constante e o limite da soma ou da subtração.

Para iniciar devemos lembrar da definição formal de limite, em que  significa que para todo existe um , tal que

implica em  .

1) Demonstração do Limite de uma função constante:

Seja a função em que possui o limite , quando  , ou seja,

. 

Demonstração

Por hipótese temos que  significa que para todo existe um , tal que

implica em  .

Portanto, para qualquer podemos escolher qualquer que o limite será satisfeito.    

2) Demonstração do limite da soma ou subtração

Sejam as funções e em que possuem limite e , respetivamente, quando  , ou seja,

  e  .

Então a função possui limite quando e é dado da forma:

.

Demonstração

Por hipótese temos que  significa que para todo existe um , tal que

implica em 

e  significa que para todo existe um , tal que

implica em  .

Tomando o menor valor de delta,  temos que 

,

usando a desigualdade triangular tem-se:

.

Obs: A demonstração da propriedade da subtração é de forma análoga, apenas fazendo a troca de sinais.

Continue seus estudos de limites com outras demonstrações das propriedades dos Limites clicando aqui.