Demonstração da derivada do produto

Demonstração da derivada do produto

Neste post apresenta-se a Demonstração da derivada do produto de duas funções, mas poderíamos estender para a multiplicação de mais funções.

Se as funções e possuírem derivadas no intervalo aberto  então a função  possui derivada em  e 

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Sabendo que a definição formal de derivadas é dada por:

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Pode-se aplica-la na nova função que é formada pelo produto das funções onde obtém-se: 

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Ao aplicar um truque matemático que consiste em somar e subtrair o mesmo valor, sem alterar o valor da expressão, tem-se: 

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Note que os dois últimos termos possuem mesmo valor porém com sinais contrários, logo sua soma é igual a zero.

Preste muita atenção neste próximo passo onde coloca-se o primeiro e o último termo em evidência e também os termos do meio (segundo e terceiro):  

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No próximo passo utilizam-se duas propriedades dos limites que são a propriedade da soma dos limites:

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Organizando os termos de uma forma que facilite o próximo passo, tem-se: 

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Em seguida aplica-se a propriedade da multiplicação dos limites:

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Para finalizar falta apenas aplicar o primeiro e terceiro limite, onde no primeiro ao aplicar o limite chega-se em  e o terceiro como é uma função que não depende de h, tem-se .  Então:

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Acompanhe a resolução de um exemplo em que utiliza esta propriedade, clicando aqui.